توازن ناش

معظم الألعاب لا تملك استراتيجيات مهيمنة، فيتوقف الاختيار الأفضل على ما يفعله الآخرون، وتتوقف اختياراتهم المثلى على اختيارك. ويحلّ توازن ناش هذه الدائرية بالبحث عن اتساق متبادل: مجموعة استراتيجيات كل واحدة منها أفضل ردّ على البقية.

يصف راسل ونورفيج التوازن بأنه الشرط الذي لا يستطيع معه أي لاعب الاستفادة من تغيير استراتيجيته ما دام كل لاعب آخر مُبقيًا على استراتيجيته، ويصفانه هندسيًا بأنه أمثلية محلية في فضاء السياسات، قمّة تنحدر في كل بُعد، حيث يقابل كل بُعد اختيارات أحد اللاعبين. وشرط الانفراد جوهري: فالتعريف لا يقول شيئًا عمّا قد تبلغه مجموعة منسّقة تنحرف معًا.

ونتيجة الوجود هي ما يجعل المفهوم صالحًا على اتساعه. فقد أثبت ناش أن كل لعبة منتهية تملك توازنًا واحدًا على الأقل، شريطة السماح بالاستراتيجيات المختلطة، أي التوزيعات الاحتمالية على الاستراتيجيات الصرفة. وبدون هذا السماح لا تملك ألعاب مثل مطابقة القطع النقدية أي توازن، إذ مهما اختار أحدهما فضّل الآخر التبديل.

ويلزم التنبّه إلى أمرين عند التطبيق. فالتوازن خاصية استقرار ولا يَعِد بنتيجة جيدة، كما يبيّن دليل دلالة السجين بتوازن يسعد اللاعبان بمبادلته. كما تملك ألعاب كثيرة توازنات متعددة، فلا يتنبأ المفهوم وحده بأيّها يقع، ويظل سؤال كيفية تنسيق اللاعبين مفتوحًا.

في دلالة السجين تكون الشهادة المتبادلة توازن ناش: فبالنظر إلى شهادة بوب، تحصل أليس على −5 بالشهادة و−10 بالتحول إلى الرفض، فلا تتحول، والعكس بالمثل لبوب. أما الرفض المتبادل فليس توازنًا، إذ يستطيع أيّهما التحسّن من −1 إلى 0 بالانحراف.

وتوضح لعبة مطابقة القطع النقدية لزومَ الاستراتيجيات المختلطة. يُظهر لاعبان في آن واحد وجهًا أو ظهرًا؛ يفوز أحدهما عند التطابق والآخر عند الاختلاف. ولا يستقر أي زوج من الاختيارات الثابتة، إذ يفضّل الخاسر التبديل دائمًا.

وتوازنها في استراتيجيات مختلطة: يلعب كلٌّ الوجهَ باحتمال النصف. وأمام خصم عشوائي حقًّا يعطي كل اختيار العائد المتوقع نفسه، فلا حافز لأحد على الانحراف. وبهذا المعنى تضمن مبرهنة ناش وجود توازن.