الأدنى-الأعظم

في لعبة المحصلة الصفرية يكون كسب أحد اللاعبين خسارةَ الآخر بالضبط، فلا مجال لمنفعة متبادلة ولا داعي لتوقع تعاون. ويستجيب الأدنى-الأعظم لذلك بتشاؤم إزاء الخصم: قيِّم كل نقلة متاحة بأسوأ نتيجة قد تفضي إليها إن لعب الخصم بأفضل ما يستطيع، ثم اختر النقلة التي أسوأ حالاتها أفضل.

وبتطبيق القاعدة على شجرة لعبة تصير تقييمًا عوديًا. فتُقيَّم المواضع النهائية من منظور اللاعب الأول. وعند العقد التي يلعب فيها ذلك اللاعب تكون القيمة أعظمَ قيم الأبناء؛ وعند العقد التي يلعب فيها الخصم تكون أصغرها. وتصعد القيم إلى الجذر، فتُختار النقلة المفضية إلى الابن الأعلى قيمة.

والتقييم الكامل مستحيل في أي لعبة مثيرة للاهتمام، إذ ينمو حجم الشجرة أسّيًا مع العمق. وتجعله تسويتان عمليًا. فالتقليم ألفا-بيتا يتتبع حدود ما يستطيع كل لاعب ضمانه أصلًا ويتخلى عن الفروع التي يُبرهَن أنها لا تغيّر النتيجة، فيعيد النقلة نفسها تمامًا مع فحص عدد أقل بكثير من العقد. كما يُقطع البحث عند عمق ثابت، مع دالة تقييم استدلالية تقدّر المواضع غير النهائية.

والأساس النظري مبرهنة الأدنى-الأعظم لفون نويمان، التي تُثبت أن لكل لعبة منتهية ذات محصلة صفرية بين لاعبين قيمةً محدَّدة جيدًا، يبلغها كلا اللاعبين متى سُمح بالاستراتيجيات المختلطة. وهذا ما يجعل الأدنى-الأعظم أكثر من استدلال تقريبي: فهو يحدّد لعبًا أمثل حقًا لا لعبًا حذرًا فحسب، ضمن هذا الصنف من الألعاب.

تأمّل شجرة ضحلة يختار فيها اللاعب المعظِّم بين نقلتين. النقلة A تفضي إلى ردّي خصم بقيمتَي 3 و5؛ والنقلة B تفضي إلى ردّين بقيمتَي 2 و9. والخصم يصغّر، فتساوي A ثلاثة وتساوي B اثنين.

ولذا يختار اللاعب المعظِّم A بقيمة 3، مع أن B تحوي أعلى عائد منفرد وهو 9. فذلك التسعة لا يُبلَغ إلا إن أخطأ الخصم، والأدنى-الأعظم يفترض أنه لن يخطئ: فهو يحسّن النتيجة المضمونة لا النتيجة المرجوّة.

ويبلغ التقليم ألفا-بيتا الخلاصة نفسها أسرع. فبعد أن ثبت أن A تضمن 3، يفحص البحث B فيجد ردًّا بقيمة 2، وله أن يتوقف فورًا عن استكشاف B: فللخصم أصلًا ردّ يجعل B لا تزيد عن 2، وهي أسوأ من 3، فلا يمكن لفروع B الباقية أن تغيّر القرار.