Comprendre Équilibre de Nash
La plupart des jeux ne comportent aucune stratégie dominante : le meilleur choix dépend de ce que font les autres, dont les meilleurs choix dépendent du vôtre. L’équilibre de Nash résout cette circularité en cherchant une cohérence mutuelle : un ensemble de stratégies dont chacune est une meilleure réponse aux autres.
Russell et Norvig le caractérisent comme la condition selon laquelle aucun joueur ne peut tirer avantage d’un changement de stratégie tant que tous les autres conservent la leur, et le décrivent géométriquement comme un optimum local dans l’espace des politiques, un sommet qui descend dans toutes les dimensions, chaque dimension correspondant aux choix stratégiques d’un joueur. La clause unilatérale est essentielle : la définition ne dit rien de ce qu’un groupe coordonné pourrait obtenir en déviant ensemble.
Le résultat d’existence est ce qui rend le concept largement utilisable. Nash a prouvé que tout jeu fini possède au moins un équilibre, pourvu que les stratégies mixtes, c’est-à-dire des randomisations sur les stratégies pures, soient permises. Sans cette extension, des jeux comme pile ou face n’ont aucun équilibre, puisque quel que soit le choix de l’un, l’autre préfère changer.
Deux mises en garde comptent en pratique. L’équilibre est une propriété de stabilité et ne promet aucun bon résultat, comme le montre le dilemme du prisonnier, dont l’équilibre est celui que les deux joueurs échangeraient volontiers. Et de nombreux jeux possèdent plusieurs équilibres : le concept seul ne prédit donc pas lequel se réalisera, laissant ouverte la question de la coordination.
Exemple : Équilibre de Nash
Dans le dilemme du prisonnier, la dénonciation mutuelle est un équilibre de Nash : sachant que Bob dénonce, Alice obtient −5 en dénonçant et −10 en passant au refus, donc elle ne change pas, et symétriquement pour Bob. Le refus mutuel n’est pas un équilibre, car chacun pourrait passer de −1 à 0 en déviant.
Le jeu de pile ou face illustre la nécessité des stratégies mixtes. Deux joueurs montrent simultanément pile ou face ; l’un gagne en cas de correspondance, l’autre en cas de divergence. Aucune paire de choix fixes n’est stable, puisque le perdant préfère toujours changer.
Son équilibre est en stratégies mixtes : chacun joue pile avec probabilité un demi. Face à un adversaire véritablement aléatoire, tout choix procure le même gain espéré, si bien que nul n’a intérêt à dévier. C’est en ce sens que le théorème de Nash garantit l’existence d’un équilibre.
Questions fréquentes
Un équilibre de Nash est-il nécessairement bon pour les joueurs ?
Non. Il garantit seulement qu’aucun individu ne peut s’améliorer en agissant seul. Le dilemme du prisonnier possède un équilibre que les deux joueurs préféreraient quitter, et ils ne le peuvent pas, car en sortir exige une déviation coordonnée simultanée.
Un jeu peut-il avoir plusieurs équilibres de Nash ?
Oui, et c’est fréquent. Les jeux de coordination en comportent typiquement plusieurs, raison pour laquelle le concept seul ne prédit pas toujours le déroulement ; des considérations supplémentaires, comme la dominance en risque, les points focaux ou la communication, sont nécessaires.
Quel est le lien avec l’équilibre en stratégies dominantes ?
Un équilibre en stratégies dominantes est toujours un équilibre de Nash, puisqu’une stratégie optimale contre tout est en particulier optimale contre ce que les autres ont effectivement choisi. La réciproque est fausse : la plupart des équilibres de Nash reposent sur des stratégies qui ne sont des meilleures réponses qu’aux stratégies adverses de cet équilibre précis.
En résumé
Un équilibre de Nash est un profil dont aucun joueur ne peut dévier seul avec profit. Le théorème de Nash en garantit l’existence dans tout jeu fini dès lors que les stratégies mixtes sont admises, et le concept décrit la stabilité, non l’efficacité ni l’équité.