فهم مرشّح كالمان
الترشيح المنفصل يحمل عددًا لكلّ حالة، وهذا مستحيل حين تكون الحالة موضعًا أو سرعةً أو حرارة. ويعالج مرشّح كالمان الحالة المتّصلة بتقييد النموذج لا الاعتقاد: فالحالة التالية دالّة خطّيّة في الحالة الراهنة زائد ضوضاء غاوسيّة، وكلّ مشاهدة دالّة خطّيّة في الحالة زائد ضوضاء غاوسيّة. وتحت هذين القيدين يكون الاعتقاد غاوسيًّا في كلّ خطوة، والغاوسيّة عددان في بُعد واحد.
كلّ خطوة تنبّؤ وتحديث. فالتنبّؤ يدفع المتوسّط عبر الديناميكا ويضيف تباين الانتقال، فينمو الارتياب دائمًا. والتحديث يُدخل المشاهدة ويُقلّص التباين دائمًا. وكتابة المتوسّط المحدَّث كاملًا تُظهر أنّه متوسّط موزون: التنبّؤ يحمل وزنًا يساوي تباين المجسّ، والمشاهدة تحمل وزنًا يساوي التباين المتنبَّأ به. فالمجسّ الدقيق يجذب التقدير إلى القراءة، والنموذج الدقيق يجذبه إلى التنبّؤ.
وأنفع حقيقة بنيويّة أنّ تكرار التباين لا يتضمّن أيّ مشاهدة. فالارتياب يتطوّر بالطريقة نفسها مهما أبلغ المجسّ، فيمكن حساب متتالية التباينات كلّها، ومعها كسب كالمان، قبل وصول قياس واحد. وعلى مسألة مستقرّة تتقارب تلك المتتالية، ويكلّف المرشّح العامل متوسّطًا موزونًا واحدًا لكلّ خطوة.
والقيود حقيقيّة. فإن كانت الديناميكا غير خطّيّة، أو كان الاعتقاد متعدّد المنوال فعلًا - روبوت إمّا في ممرّ أو في آخر - فلا تستطيع الغاوسيّة تمثيله، ويكون التخطيط حول التقدير الراهن أو أخذ العيّنات هو الإصلاح الأمين لا التحسين.
كيفية الحساب
\mu_{t+1} = \frac{(\sigma_t^2 + \sigma_x^2)\, z_{t+1} + \sigma_z^2\, \mu_t}{\sigma_t^2 + \sigma_x^2 + \sigma_z^2}, \qquad \sigma_{t+1}^2 = \frac{(\sigma_t^2 + \sigma_x^2)\, \sigma_z^2}{\sigma_t^2 + \sigma_x^2 + \sigma_z^2}
حيث
- \mu_t, \sigma_t^2
- متوسّط الاعتقاد وتباينه بعد t من المشاهدات
- \sigma_x^2
- ضوضاء الانتقال: كم تنجرف الحالة في خطوة واحدة
- \sigma_z^2
- ضوضاء المجسّ: إلى أيّ حدّ تُصدَّق قراءة واحدة
- z_{t+1}
- المشاهدة الجديدة
مثال على مرشّح كالمان
خذ مشيًا عشوائيًّا يبدأ بمتوسّط 0 وتباين 1، وضوضاء انتقال تباينها 4، وضوضاء مجسّ تباينها 1، وقراءة أولى قدرها 2.5. يترك التنبّؤ المتوسّط عند 0 وينقل التباين من 1 إلى 5. ثمّ يعطي التحديث متوسّطًا قدره (5 × 2.5 + 1 × 0) ÷ 6 = 2.083 وتباينًا قدره (5 × 1) ÷ 6 = 0.833.
وأمران يُقرآن من ذلك. يقف المتوسّط دون القراءة، عند 2.083 لا 2.5، لأنّ التنبّؤ ما زال يحمل سدس الوزن. والتباين 0.833 أقلّ من التباين المتنبَّأ به 5 ومن تباين المجسّ 1: فجمع مصدرين مشوّشين يغلب كلًّا منهما وحده.
وتكرار علاقة التباين وحدها، بلا أيّ بيانات، يتقارب إلى 0.828427. وعند تلك النقطة الثابتة يضع المرشّح نحو ثلاثة وثمانين في المئة من ثقته في كلّ قراءة جديدة وسبعة عشر في المئة في تنبّؤه هو، إلى الأبد. والتباين المستقرّ لا يعني تقديرًا متوقّفًا: فالمتوسّط يظلّ يتحرّك مع كلّ مشاهدة، وإنّما بلغت الثقة المرافقة له توازنها.
الأسئلة الشائعة
لماذا يتقلّص التباين حتّى حين تكون القراءة مفاجئة؟
لأنّ علاقة التباين لا تذكر القراءة. فالمشاهدة المفاجئة تحرّك المتوسّط كثيرًا وتقلّص التباين بمقدار ما تقلّصه المشاهدة العاديّة بالضبط. فالمفاجأة معلومة عن موضع الحالة، لا عن جودة معرفتنا بها.
ما أوّل ما ينكسر خارج الإطار الخطّيّ الغاوسيّ؟
الدعوى بأنّ الاعتقاد يبقى غاوسيًّا. فمتى لم يعد كذلك صار المتوسّط والتباين خلاصة تُفقد معلومات، وقد يصير المرشّح واثقًا ومخطئًا. وتعدّد المنوال أوضح هذه الحالات، وفيه تكون طرائق أخذ العيّنات هي الجواب الصحيح.
الخلاصة
حين تتحرّك حالة متّصلة وتُقاس خطّيًّا بضوضاء غاوسيّة، يكون الاعتقاد الدقيق غاوسيًّا، ويكون التحديث متوسّطًا موزونًا أوزانه من التباينين، ويمكن وضع جدول الارتياب كلّه قبل القياس الأوّل.