نموذج ماركوف المخفي

يطبّق نموذج ماركوف المخفي فكرة الشبكة البايزية على عالم يتغيّر. فتُقسم المتغيّرات إلى حالة، وهي صحيحة لكن لا يمكن رصدها، وشواهد، وهي مرصودة وغير موثوقة. ويُقطَّع الزمن شرائح ثابتة، ويُفترض النموذج مستقرّاً، أي إن التوزيعين الشرطيين نفسيهما ينطبقان عند كل خطوة. ويقدّمه راسل ونورفيغ بحارس أمن لا يرى الطقس وعليه أن يستدلّ هل تمطر السماء من كون مديره يصل حاملاً مظلّة.

والفرضيتان هما ما يجعل النموذج منتهياً. فتقول فرضية ماركوف إن الحالة الراهنة لا تتوقّف على التاريخ كلّه إلا من خلال الحالة السابقة مباشرة؛ وتقول فرضية ماركوف للاستشعار إن المشاهدة الراهنة لا تتوقّف إلا على الحالة الراهنة. وكلتاهما دعوى عن حسن اختيار متغيّر الحالة لا عن جهاز الاستشعار المادّي. ومتى أخفقت الأولى، فالإصلاحان المعتادان رفع رتبة النموذج، أو الأفضل توسيع الحالة حتى تمرّ التبعية الناقصة عبر متغيّر لا عبر الزمن.

وبهاتين الفرضيتين يتحلّل التوزيع المشترك على تاريخ كامل إلى توزيع قبلي وعامل انتقال واحد لكل خطوة وعامل استشعار واحد لكل خطوة. ويُجاب عندئذ عن كل استعلام بواحدة من أربع مهامّ. فالترشيح يحسب الاعتقاد عن الحالة الراهنة بمعلومية كل الشواهد حتى الآن، وهو ما يحتفظ به عميل يعمل. والتنبّؤ يمدّ ذلك الاعتقاد إلى المستقبل، حيث يرتخي في غياب شواهد جديدة نحو التوزيع المستقرّ للسلسلة ولا يحمل في النهاية أي معلومة. والتنعيم يقدّر حالة سابقة مستعملاً شواهد وصلت بعدها، بضرب الرسالة التقدّمية في رسالة تراجعية تلخّص المشاهدات اللاحقة. وإجراء المرور التقدّمي مرة واحدة ثم الكنس رجوعاً ينعّم متتالية كاملة في زمن خطّي في طولها، وتلك هي الخوارزمية التقدّمية-التراجعية.

والمهمّة الرابعة مختلفة في النوع. فطلب المتتالية الأرجح الوحيدة من الحالات ليس كطلب الحالة الأرجح عند كل خطوة، لأن الهوامش تجمع على كل المسارات المارّة بحالة بينما المتتالية مسار واحد. ولذلك قد يعطي تركيب الفائزين عند كل خطوة تاريخاً أقلّ احتمالاً من تاريخ آخر، ووُجدت خوارزمية فيتربي للتحسين على المسارات كاملةً: فهي التعاود التقدّمي مع استبدال أعظم بالجمع على الحالة السابقة، زائد مؤشّر راجع عند كل خطوة حتى يمكن استعادة المسار الفائز لا احتماله وحده. وحين تكون الحالة متّصلة لا منفصلة، لا تنجو دورة التنبّؤ والتحديث نفسها إلا لعائلات خاصّة؛ والحالة الخطّية-الغاوسية تعطي مرشّح كالمان.

في عالم المظلّة تكون الحالة هل تمطر السماء، مع P(مطر اليوم | مطر أمس) = 0.7 وP(مطر اليوم | جفاف أمس) = 0.3، ويكون المستشعر هل تظهر مظلّة، مع P(مظلّة | مطر) = 0.9 وP(مظلّة | جفاف) = 0.2. وبالانطلاق من توزيع قبلي منتظم، تعطي مظلّة واحدة اعتقاداً مرشَّحاً قدره ⟨0.818, 0.182⟩، وتعطي ثانية في اليوم التالي ⟨0.883, 0.117⟩.

وتنعيم اليوم 1 بعد رؤية اليوم 2 يرفعه من 0.818 إلى 0.883، لأن المظلّة الثانية تجعل المطر أرجح في اليوم 2 ولأن المطر يدوم. والرسالة التراجعية التي تحمل ذلك هي ⟨0.69, 0.41⟩، ولا يبلغ مجموعها واحداً لأنها إمكان لا توزيع.

وعلى المشاهدات لا مظلّة، مظلّة، لا مظلّة، يكون احتمال المطر المنعَّم في اليوم 2 هو 0.554، ومع ذلك فالمتتالية الأرجح جافّة في الأيام الثلاثة كلّها عند 0.402 في مقابل 0.332 للتالية لها. فالهامش يجمع كتلته من أربعة تواريخ منفصلة؛ أما المتتالية الفائزة فتركّز كتلتها في واحد.