الشبكة البايزية

تجيب الشبكة البايزية عن سؤال: كيف يستطيع عميل أن يحمل اعتقادات عن متغيّرات كثيرة في آنٍ واحد من غير أن يكتب توزيعاً مشتركاً ينمو حجمه أسّياً مع عددها. وهي تفعل ذلك بتسجيل التأثيرات المباشرة وحدها: فالضلع من X إلى Y يقول إن X أب لـY، وكل عقدة تخزّن P(العقدة | الآباء) جدولاً بصفّ لكل تركيبة من قيم الآباء. ويقدّم راسل ونورفيغ الفكرة بجهاز إنذار ضدّ السطو يستجيب للسطو، وبموثوقية أقلّ للزلازل، وجارين يتّصلان حين يسمعانه. فخمسة متغيّرات وأربعة أضلاع وعشرة أعداد تحلّ محلّ جدول مشترك من واحد وثلاثين.

والدلالة معادلة واحدة: احتمال الإسناد الكامل لكل المتغيّرات هو جداء الاحتمالات الشرطية المقروءة من الجداول. فلانطلاق الإنذار بلا سطو ولا زلزال مع اتّصال الجارين كليهما، يكون ذلك الجداء 0.90 × 0.70 × 0.001 × 0.999 × 0.998 = 0.000628. ولمّا كانت كل مدخلة من التوزيع المشترك تُستعاد على هذا النحو، فليست الشبكة تقريباً للتوزيع المشترك؛ بل هي التوزيع المشترك، مخزَّناً بصورة مضغوطة.

ويستند الضغط إلى الاستقلال الشرطي. فمقارنة الجداء بقاعدة السلسلة في الاحتمالات تبيّن أن الشبكة نموذج صحيح بالضبط حين يكون كل متغيّر مستقلّاً شرطياً عن سوابقه الأخرى بمعلومية آبائه، لترتيب ما يضع الآباء قبل الأبناء. وتلزم من المخطّط وحده نتيجتان: العقدة مستقلّة عن غير أحفادها بمعلومية آبائها، والعقدة مستقلّة عن كل عقدة أخرى بمعلومية غطاء ماركوف الخاصّ بها، وهو مجموعة آبائها وأبنائها والآباء الآخرين لأبنائها. وبناء الشبكة بالترتيب السببي يُبقيها صغيرة؛ وبناؤها بترتيب خاطئ يفرض أضلاعاً زائدة وأعداداً أعسر تقديراً.

ويسأل الاستعلام عن الاحتمال البعدي لمتغيّر واحد بمعلومية شواهد على غيره، وكل استعلام من هذا القبيل مجموع مُعيَّر لجداءات مدخلات الجداول على المتغيّرات المخفية. والتعداد يحسب ذلك المجموع مباشرةً ويكرّر العمل؛ أما إزالة المتغيّرات فتخزّن النتائج الوسيطة عوامل وتركّبها بالجداء النقطي والجمع على المتغيّرات. وعلى الشجرة المتعدّدة، وهي مخطّط بمسار غير موجَّه واحد على الأكثر بين أي عقدتين، تجري الإزالة في زمن خطّي في عدد مدخلات الجداول. وعلى المخطّطات المتعدّدة الوصل قد تنمو العوامل أسّياً، والمسألة العامة بصعوبة عدّ الإسنادات المُرضية لصيغة قضوية. والطرق التقريبية - أخذ العيّنات بالرفض، والترجيح بالإمكان، ومونتي كارلو بسلاسل ماركوف - تقايض الدقّة بتقديرات متّسقة تتوقّف كلفتها على كيفية معالجة الشواهد.

في شبكة السطو، الاستعلام «اتّصل الجاران كلاهما؛ فهل وقع سطو؟» هو P(B | j, m) = α Σₑ Σₐ P(B) P(e) P(a | B, e) P(j | a) P(m | a). وجمع الحدود الأربعة لكل قيمة من قيم B يعطي الزوج غير المُعيَّر ⟨0.00059224, 0.00149186⟩.

والتعيير يعطي ⟨0.284, 0.716⟩: فبلاغان مستقلّان يرفعان احتمالاً قبلياً قدره واحد في الألف إلى نحو 28 بالمئة، ولا أعلى من ذلك، لأن كتلة اللاسطو، 0.00149186، تأتي من ثلاث طرق متقاربة - إنذار بلا سبب ثم المكالمتان 0.000628، ولا إنذار مع اتصال الجارين مع ذلك 0.000498، وإنذار بسبب زلزال ثم المكالمتان 0.000365 - وهي تزن معًا 2.5 ضعف طريق السطو، 0.000592.

وتبلغ إزالة المتغيّرات الجواب نفسه بالجمع على الإنذار أولاً في عامل على (B, E)، ثم على الزلزال في عامل على B وحده، فتُحسب الجداءات عند الأوراق مرة واحدة لا مرة لكل فرع من فروع شجرة التعداد.