المنفعة المتوقَّعة

تجمع نظرية القرار بين ما يعتقده العميل وما يريده. فدالّة المنفعة تسند عدداً واحداً إلى الحالة تعبيراً عن مرغوبيّتها، ولمّا كان الفعل في عالم غير يقيني لا يحدّد نتيجته، كان المقدار المعنيّ متوسّطاً: فالمنفعة المتوقَّعة لفعل ما هي المجموع، على حالات النتائج الممكنة، لاحتمال كل منها بمعلومية الفعل والشواهد مضروباً في منفعتها. ويقول مبدأ تعظيم المنفعة المتوقَّعة إن العميل الرشيد يختار الفعل الذي يعظّم ذلك المقدار. وليست هذه قاعدة عن أفضل الحالات، فذلك يهمل المخاطرة، ولا عن بلوغ الأهداف، لأن جودة النتيجة متّصلة لا اختباراً ثنائياً.

والفجوة بين المال والمنفعة هي حيث يثبت المبدأ جدواه. فإذا عُرض مليون دولار مؤكّد أو قطعة نقد عادلة تدفع لا شيء أو مليونين ونصف المليون، كانت القيمة النقدية المتوقَّعة للمقامرة هي الأعلى عند مليون وربع، ومع ذلك يرفضها أكثر الناس. وتقدير النتائج الثلاث بـ5 و8 و9 يعطي منفعة متوقَّعة قدرها 7 للقبول في مقابل 8 للرفض، فالرفض هو ما يوصي به المبدأ. ولا خطأ في أخذ المتوسّط؛ وإنما يختلف المقياس الذي يُتوسَّط عليه. أما الملياردير الذي يكاد منحناه يكون خطّياً على بضعة ملايين فيحسب 1.25 في مقابل 1.0 وينبغي له قبول المقامرة نفسها، وهذا يبيّن أن الخلاف يسكن في دالّة المنفعة لا في الحذر بما هو حذر.

وتجريبياً تقارب منفعة المال اللوغاريتم، وهي فكرة ترجع إلى برنولي وأكّدتها دراسة غرايسون للتفضيلات الفردية. ومثل هذا المنحنى مقعّر، أي إن الزيادات المتساوية في الثروة تضيف مقادير متناقصة من المنفعة، والتقعّر هو النفور من المخاطرة بعينه: فمنفعة اليانصيب دون منفعة تسلّم قيمته النقدية المتوقَّعة أمراً مؤكّداً. والمبلغ المؤكّد الذي يساوي عند العميل مقامرةً ما هو المكافئ اليقيني، والنقص عن القيمة المتوقَّعة للمقامرة هو علاوة المخاطرة. وليس للمنافع مقياس مطلق، فيُثبَّت واحد بتثبيت أفضل نتيجة وأسوأ نتيجة، ثم تُقوَّم أي جائزة بتعديل الاحتمال في يانصيب قياسي حتى يستوي الأمران عند العميل.

وتمدّ شبكة القرار الشبكة البايزية بعقد قرار للخيارات التي يتحكّم فيها العميل وعقدة منفعة تقيّم النتيجة، وتُقيَّم بتثبيت كل فعل مرشَّح بدوره، وإجراء الاستدلال الاحتمالي المعتاد، وأخذ الفعل الأعلى منفعة متوقَّعة. وتدعم تلك البنية السؤال عمّا تساويه مشاهدة ما قبل دفع ثمنها. فقيمة المعلومة التامّة هي المنفعة المتوقَّعة لقرار يُتَّخذ بعد المشاهدة، متوسَّطةً على ما قد تقوله المشاهدة، ناقصَ المنفعة المتوقَّعة لقرار يُتَّخذ الآن. وخاصّيتها المميِّزة أنها تساوي صفراً كلّما كانت لا قراءة ممكنة تغيّر الفعل المختار، وأنها تعظم حين تتقارب الأفعال المرشَّحة وتستطيع المشاهدة إعادة ترتيبها.

المنحنى الذي لاءمه غرايسون لأحد المفحوصين، U = −263.31 + 22.09 log(n + 150,000)، يكسب 11.28 من المنفعة عند أول مئة ألف دولار، ثم 7.43، ثم 5.55، ثم 4.43. وتناقص المكاسب هو التقعّر، والتقعّر هو النفور من المخاطرة.

وعلى المنحنى نفسه، قطعة نقد عادلة بين لا شيء وثمانمئة ألف دولار منفعتها المتوقَّعة 20.35، بينما تساوي الأربعمئة ألف المؤكّدة 28.67. فالمكافئ اليقيني نحو مئتين وسبعة وعشرين ألفاً، وعلاوة المخاطرة نحو مئة وثلاثة وسبعين ألف دولار.

وتواجه شركة نفط n قطعةً لا تُميَّز إحداها من الأخرى، في واحدة منها نفط قيمته C، وسعر كل قطعة C/n. ومسح قاطع لقطعة واحدة يساوي C/n بالضبط مهما كان n، وقد تُحقّق من ذلك بالحساب الدقيق عند n يساوي 2 و3 و5 و10 و100: فالمعلومة تساوي قدر قطعة كاملة.