القرارات في ظلّ اللايقين: المنفعة والمعلومة

يُنتج الاستدلال اعتقادات. والاعتقادات لا تخبرك بما تفعل. فالفعل يحتاج شيئًا لا تستطيع الاعتقادات تقديمه - التفضيلات - ونظرية القرار هي الحساب الذي يجمع الاثنين معًا.

أ. المنفعة المتوقّعة

دالّة المنفعة $U(s)$ تعطي عددًا واحدًا لمدى استحسان الحالة. ولمّا كان الفعل في عالم غير يقيني لا يثبّت نتيجته، فاكتب $\mathrm{Result}(a)$ للمتغيّر العشوائي للنتائج الممكنة. والمنفعة المتوقّعة لفعلٍ ما، بمعلومية الشاهد $\mathbf{e}$، هي

$$EU(a \mid \mathbf{e}) = \sum_{s'} P\big(\mathrm{Result}(a) = s' \mid a, \mathbf{e}\big)\, U(s') ,$$

ومبدأ المنفعة المتوقّعة العظمى هو ببساطة $\operatorname{argmax}_a EU(a \mid \mathbf{e})$.

وليس ذلك «عظّم أفضل الحالات»، فتلك تهمل المخاطرة، ولا «ابلغ هدفًا»، إذ جودة النتيجة هنا متّصلة لا نجاحًا أو رسوبًا.

ب. المال ليس منفعة

لقد فزت في برنامج مسابقات. خذ $1,000,000، أو اقذف قطعة نقد عادلة: لا شيء في مقابل $2,500,000. والقيمة المالية المتوقّعة للمقامرة $1,250,000، وهي تفوق المليون المضمون. ومع ذلك يرفض أكثر الناس.

قوِّم وضعك الحالي بـ5، والمليون المضمون بـ8، وأفضل النتائج بـ9. فيكون

$$EU(\text{Accept}) = \tfrac{1}{2}(5) + \tfrac{1}{2}(9) = 7 < 8 = EU(\text{Decline}) ,$$

ومن ثمّ فالرفض هو ما يقضي به المبدأ. والتوسيط واحد بعينه في الحسابين؛ ولا يختلف إلا المقياس، والمنفعة هي المقياس الذي يرمّز التفضيل.

والخلاف على شكل منحنى، لا على الحذر. فمنفعة الملياردير خطّية تقريبًا على بضعة ملايين، فتعطي $EU(\text{Accept}) = 1.25 > 1.0$، ويقول المبدأ نفسه خذ المقامرة. عميلان، والاحتمالات نفسها، وخياران عقلانيان متضادّان.

الحجّة تدور على شكل منحنى، فهذا هو المنحنى. النتائج الثلاث نقاطٌ عليه، والمزلاج يثنيه، والاحتمالات لا تتحرّك أبدًا. والخط المتقطّع هو التقدير الذي تحتاجه القمّة ليصحّ القبول: 11 عند التقديرات أعلاه. وهذا يستحقّ قراءتين، فهو يقول إن المليون والنصف الثاني ينبغي أن يضيف ما لا يقلّ عمّا أضافه المليون الأول، وذاك نقيض الغلّة المتناقصة التي تقوم عليها الحجّة كلّها.

ج. التقوّس هو النفور من المخاطرة

وجد غرايسون منفعة المال قريبة من اللوغاريتم، وهي فكرة ترجع إلى برنولي في 1738. وكانت الملاءمة لأحد المفحوصين $U = -263.31 + 22.09\log(n + 150{,}000)$. وتدرّج فيها بزيادات متساوية قدرها $100,000 تتقلّص المنفعة المضافة: $11.28$، ثم $7.43$، ثم $5.55$، ثم $4.43$.

وتقلّص المكاسب هو التقعّر، وللمنحنى المقعّر يكون $U(L) < U(S_{EMV(L)})$ لكل يانصيب $L$: فمواجهة المقامرة تساوي أقلّ من أن تُسلَّم قيمتها المتوقّعة. وذلك هو النفور من المخاطرة، وهو قابل للقياس. وعلى المنحنى نفسه، لقطعة نقد عادلة بين $0 و$800,000 منفعة متوقّعة $20.35$ في مقابل $28.67$ للمبلغ اليقيني $400,000. والمبلغ المضمون الذي يقدّره مساويًا للمقامرة - مكافئ اليقين - نحو $227,000، فتكون علاوة المخاطرة نحو $173,000.

وليس المنحنى مقعّرًا في كل موضع. فمن غرق في الدَّين بمقدار $10 ملايين قد يقبل عقلانيًا قطعة نقد بين ربحٍ إضافي قدره $10 ملايين وخسارةٍ قدرها $20 مليونًا، إذ لا تكاد النتائج تختلف عن موضعه الذي هو فيه. وذلك يعطي شكل حرف S: سعيًا إلى المخاطرة عند اليأس، ونفورًا منها على الثروات الموجبة.

وليس للمنافع مقياس مطلق، فثبّت واحدًا بتثبيت أفضل نتيجة وأسوئها عند 1 و0، ثم استخلص أي جائزة بعرضها في مقابل يانصيب معياري وضبط الاحتمال حتى يستوي الأمران عند العميل. وذلك الاحتمال هو المنفعة.

وحيث تكون أسوأ النتائج هي الموت، يأبى الناس تسعيره، وتجري المفاضلة على كل حال. والميكرومورت احتمال موت مقداره واحد في المليون. وقيادة 230 ميلًا تكلّف واحدًا، فعمر سيارة يبلغ 92,000 ميل يكلّف 400؛ ويدفع الناس نحو $10,000 في سيارة تنصّف تلك المخاطرة، فتوفّر 200، وذلك يستلزم $50 لكل ميكرومورت - وهو يطابق ما تورده الدراسات مباشرة. والمدى مقصور على المخاطر الصغيرة؛ فما من أحد يقبل $50 مليونًا ليموت في الحال.

ويورد رسل ونورفيغ خبر وكالة رفضت دراسةً عن الأسبستوس لأنها افترضت قيمة بالدولار لحياة طفل، ثم امتنعت عن الإزالة - فأضمرت بذلك قيمةً أدنى من التي أبت التصريح بها.

د. تسعير مشاهدة

شبكة القرار توسّع الشبكة البايزية بعقد قرار مستطيلة لخيارات العميل وعقدة منفعة معيّنة الشكل تعطي النتيجة درجتها. وتقييمها حلقة: اضبط الشاهد، ثم أجرِ لكل فعل استدلالًا عاديًا على آباء عقدة المنفعة، وتوسّط، وخذ الأفضل. وآلة الاستدلال لا تتغيّر.

وتلك البنية تتيح لك أن تسأل كم تساوي المشاهدة قبل شرائها. وقيمة المعلومة التامّة هي المنفعة المتوقّعة لقرارٍ يُتّخذ بعد المشاهدة، متوسّطةً على ما قد تقوله، مطروحًا منها المنفعة المتوقّعة لقرارٍ يُتّخذ الآن:

$$VPI_{\mathbf{e}}(E_j) = \left(\sum_k P(E_j = e_{jk} \mid \mathbf{e})\, EU\big(\alpha_{e_{jk}} \mid \mathbf{e}, E_j = e_{jk}\big)\right) - EU(\alpha \mid \mathbf{e}) .$$

تستطيع شركة نفط أن تشتري واحدة من $n$ كتلة لا يميّز بينها شيء؛ وواحدة منها بالضبط تحوي نفطًا قيمته $C$ وثمن كلٍّ منها $C/n$، فيكون الربح المتوقّع صفرًا في الحالين. ومسحٌ قاطع للكتلة 3 يغيّر ذلك. فباحتمال $1/n$ يجد نفطًا فتربح الشركة $(n-1)C/n$؛ وإلا تحسّنت الفرصة بين سائر الكتل من $1/n$ إلى $1/(n-1)$، وذلك يساوي $C/(n(n-1))$. ومعًا:

$$\frac{1}{n}\cdot\frac{(n-1)C}{n} + \frac{n-1}{n}\cdot\frac{C}{n(n-1)} = \frac{C}{n} .$$

فمسح كتلة واحدة يساوي ثمن كتلة بالضبط، مهما كان $n$.

هـ. الحالة التي يكون فيها السعر صفرًا

وللاستدلال نفسه لازمٌ أحدّ. طريقان: طريق سريع منفعته المتوقّعة 10، ودربٌ ترابي يساوي 4 قد ينقله تقرير قمر صناعي إلى أي موضع في $[3, 6]$. والتقرير لا يساوي شيئًا. فمهما قال، لا يتجاوز الدرب 6، وتبقى تسلك الطريق السريع، وتبقى المنفعة المتوقّعة بعده 10، فيكون $VPI = 0$.

وقرّب بين الطريقين بدل ذلك - 10 في مقابل شيء في $[8, 13]$ - فعلى القراءات $8, 10, 12, 13$ تأخذ في كل مرة الأفضل من 10 ومن القراءة:

$$\frac{10 + 10 + 12 + 13}{4} = 11.25 .$$

والآن تنبّه إلى الشقّ الآخر من الفرق. فالقرار الآن لا يعني أخذ الطريق السريع، بل يعني أخذ الفعل الأعلى منفعةً متوقّعة، والمسلك الترابيّ يساوي أصلًا $\tfrac{1}{4}(8 + 10 + 12 + 13) = 10.75$. فالأساس إذًا هو $10.75$ لا $10$:

$$VPI = 11.25 - 10.75 = 0.50 .$$

وتلك القيمة كلّها تأتي من قراءة واحدة. فبلا تقرير تسلك المسلك الترابيّ؛ أمّا القراءة $8$ فتردّك إلى الطريق السريع، وذلك يساوي $\tfrac{1}{4}(10 - 8) = 0.50$ بالضبط. وعند $10$ يتعادل الطريقان، فلا يكسب التحوّل شيئًا، وأمّا $12$ و$13$ فخبر سارّ لا قيمة له، لأنّك كنت سالكًا ذلك الطريق على أيّ حال.

أين يضعك هذا

المعلومة تساوي شيئًا حين تستطيع أن تغيّر ما تفعل، وحينئذ فقط. فالقياس الذي لا يقدر على تبديل الخيار لا يساوي شيئًا مهما كان دقيقًا أو باهظًا، والقيمة تبلغ ذروتها حين تتقارب الأفعال المرشّحة وتتّسع المشاهدة اتّساعًا يكفي لإعادة ترتيبها. وذلك تحقّقٌ رخيص قبل أن تطلب دراسة، وهو الحساب نفسه الذي يفسّر لماذا يرفض العاقل رهانًا مؤاتيًا. ومسار التدريب اتّخاذ القرار في ظلّ عدم اليقين يعالج كلًّا من هذه يدويًا وبالشيفرة.