فهم الاستقرارية
الإجراءات الإحصائية تستعير قوّتها من مجموع المشاهدات، وهذا لا معنى له إلّا إذا كانت تلك المشاهدات تصف العملية نفسها. والاستقرارية هي هذا الشرط مصوغاً بدقّة: التوزيع المولِّد للسلسلة لا ينزاح بمرور الزمن. فإذا انزاح، صار المتوسّط على النافذة متوسّطاً على عوالم مختلفة، ووصف المجال حوله كمّيةً لم توجد قطّ.
وأوضح برهان على ذلك هو الانحدار الزائف. ولّد مسيرتين عشوائيتين من ضجيجين منفصلين تماماً، بحيث لا تعرف إحداهما عن الأخرى شيئاً بحكم البناء، ثمّ انحدر إحداهما على الأخرى. على 2000 زوج من 200 نقطة، يخرج الميل معنوياً عند مستوى 5٪ في 82.8٪ من الحالات. لا خلل في الحساب ولا في الأعداد العشوائية؛ إنّما يُسأل الاختبار سؤالاً لا يستطيع الإجابة عنه.
والآليّة هي غياب مستوى يُعاد إليه. فالمسيرة العشوائية مجموع جارٍ لخطوات مستقلّة، فينمو تباينها مع الزمن: 48.9 عند t = 50، و194.1 عند t = 200، و757.4 عند t = 800. وعلى أيّ نافذة منتهية تهيم سلسلتان كهاتين، وأيّ سلسلتين هائمتين تنجرفان معاً في فترات طويلة. واختبار مبنيّ على مشاهدات مستقلّة يقرأ ذلك الانجراف المشترك علاقةً.
ويصلح الفرق الأمر لأنّ فروق المسيرة العشوائية هي بالضبط الخطوات المستقلّة التي بُنيت منها. وانحدار الأزواج نفسها بالفروق الأولى يعطي معدّل معنوية 4.2٪، وهو ما ينبغي أن يعطيه اختبار سليم عند 5٪. والثمن أنّ النموذج صار يصف التغيّرات لا المستويات، وهذا سؤال آخر ينبغي عرضه بوصفه كذلك.
كيفية الحساب
strict: (X_t, …, X_{t+k}) ~ (X_{t+h}, …, X_{t+k+h}) for all h; weak: E[X_t] = μ, Var(X_t) = σ², Cov(X_t, X_{t+k}) = γ_k
حيث
- μ, σ²
- متوسّط وتباين لا يتوقّفان على t
- γ_k
- تغاير لا يتوقّف إلّا على الفجوة k، لا على موضع النافذة
- الجذر الأحادي
- الحالة غير المستقرّة حيث تتراكم الصدمات بدل أن تخفت
- ∇X_t = X_t − X_{t−1}
- الفرق الأوّل، الذي يعيد المسيرة العشوائية إلى خطواتها
مثال على الاستقرارية
مسيرتان عشوائيتان مستقلّتان من 200 نقطة، تُنحدر إحداهما على الأخرى 2000 مرّة: يخرج الميل معنوياً عند 5٪ في 82.8٪ من التجارب. والأزواج نفسها بالفروق الأولى: 4.2٪.
تباين المسيرة العشوائية عند الزمن t، مقيساً على 3000 تكرار: 48.9 عند t = 50، و194.1 عند t = 200، و757.4 عند t = 800، أي ينمو تناسباً مع t بدل أن يستقرّ عند قيمة.
على مسيرة عشوائية، يعطي التنبّؤ بآخر قيمة مرصودة خطأً جذرياً 4.0419 مقابل 6.5258 لمتوسّط التدريب، لأنّه لا متوسّط تعود إليه السلسلة كي يستثمره التنبّؤ بالمتوسّط.
الأسئلة الشائعة
كيف أعرف إن كانت السلسلة مستقرّة؟
ارسمها أوّلاً؛ فالمستوى الهائم أو التشتّت المتّسع يُرى عادة. وثمّة اختبارات صورية، لكنّ قوّتها ضعيفة أمام البدائل البطيئة، فاختبار لا يرفض دليل ضعيف على الاستقرارية لا شهادة براءة.
هل الفرق هو الجواب دائماً؟
لا. فهو يعالج اتّجاهاً عشوائياً، ويفرّق أكثر ممّا ينبغي سلسلةً مستقرّة أصلاً فيضيف ضجيجاً. والاتّجاه الحتمي يُزال بملاءمته، والتباين المتغيّر يستدعي غالباً تحويلاً بدل الفرق.
هل تنفع زيادة البيانات مع سلسلة غير مستقرّة؟
ليس في هذه المشكلة. فمعدّل الرفض الزائف لا ينخفض بطول السلسلة بل يرتفع، لأنّ للسلسلتين مجالاً أوسع للهيام. وهذا تحيّز لا ضجيج، وهو ما يجعله خطيراً.
الخلاصة
الاستقرارية هي الافتراض الذي يعطي بقيّة الأدوات معنى، وثمن تجاهله ليس مجالاً أوسع بل جواباً واثقاً عن سؤال لم يطرحه أحد. تحقّق منها قبل كلّ شيء، وعامل الإصلاح على أنّه تغيير للسؤال لا إجراء شكلي.