Utilité espérée

La théorie de la décision combine ce qu’un agent croit et ce qu’il veut. Une fonction d’utilité attribue un nombre unique à un état, exprimant sa désirabilité, et comme une action dans un monde incertain ne détermine pas son issue, la quantité pertinente est une moyenne : l’utilité espérée d’une action est la somme, sur les états d’issue possibles, de leur probabilité étant donné l’action et l’évidence, multipliée par leur utilité. Le principe d’utilité espérée maximale énonce qu’un agent rationnel choisit l’action qui maximise cette quantité. Ce n’est pas une règle sur les meilleurs cas, ce qui ignorerait le risque, ni sur l’atteinte de buts, puisque la qualité d’une issue est continue plutôt que binaire.

L’écart entre l’argent et l’utilité est là où le principe fait ses preuves. Offert un million de dollars certain ou une pièce équilibrée payant zéro ou deux millions et demi, le pari a l’espérance monétaire la plus élevée, un million et quart, et pourtant la plupart des gens refusent. Noter les trois issues 5, 8 et 9 donne une utilité espérée de 7 pour accepter contre 8 pour refuser : refuser est donc bien ce que prescrit le principe. Rien ne cloche dans le calcul de la moyenne ; ce qui diffère, c’est l’échelle sur laquelle on moyenne. Un milliardaire dont la courbe est presque linéaire sur quelques millions calcule 1,25 contre 1,0 et devrait accepter le même pari, ce qui montre que le désaccord loge dans la fonction d’utilité plutôt que dans la prudence comme telle.

Empiriquement, l’utilité de l’argent est proche du logarithme, idée due à Bernoulli et confirmée par l’étude des préférences individuelles menée par Grayson. Une telle courbe est concave : des accroissements égaux de richesse ajoutent des quantités décroissantes d’utilité, et la concavité est précisément l’aversion au risque, puisque l’utilité d’une loterie est inférieure à l’utilité de recevoir son espérance monétaire à coup sûr. Le montant certain qu’un agent valorise autant qu’un pari est l’équivalent certain, et le manque à gagner par rapport à l’espérance du pari est la prime de risque. Les utilités n’ont pas d’échelle absolue : on en fixe une en épinglant une meilleure et une pire issue, après quoi tout lot s’évalue en ajustant la probabilité dans une loterie étalon jusqu’à ce que l’agent soit indifférent.

Un réseau de décision étend un réseau bayésien par des nœuds de décision pour les choix que l’agent contrôle et un nœud d’utilité qui note l’issue ; on l’évalue en fixant tour à tour chaque action candidate, en lançant l’inférence probabiliste ordinaire, et en retenant l’action d’utilité espérée la plus haute. Cette structure permet de demander ce que vaudrait une observation avant de la payer. La valeur de l’information parfaite est l’utilité espérée d’une décision prise après l’observation, moyennée sur ce que l’observation pourrait dire, moins l’utilité espérée d’une décision prise maintenant. Sa propriété caractéristique est d’être nulle dès qu’aucune lecture possible ne changerait l’action choisie, et maximale quand les actions candidates sont proches et que l’observation pourrait les réordonner.

La courbe ajustée par Grayson pour l’un de ses sujets, U = −263,31 + 22,09 log(n + 150 000), gagne 11,28 d’utilité pour les cent premiers milliers de dollars, puis 7,43, puis 5,55, puis 4,43. Des gains qui rétrécissent, c’est la concavité, et la concavité, c’est l’aversion au risque.

Sur cette même courbe, une pièce équilibrée entre rien et huit cent mille dollars a une utilité espérée de 20,35, tandis que les quatre cent mille certains valent 28,67. L’équivalent certain est d’environ deux cent vingt-sept mille, si bien que la prime de risque avoisine cent soixante-treize mille dollars.

Une compagnie pétrolière fait face à n blocs indiscernables, dont un seul recèle du pétrole valant C, chacun proposé à C/n. Une prospection définitive d’un unique bloc vaut exactement C/n quel que soit n, ce qui se vérifie en arithmétique exacte pour n valant 2, 3, 5, 10 et 100 : l’information vaut autant qu’un bloc lui-même.