الشريحة (السبلاين)

الشريحة هي ما تحصل عليه بملاءمة كثير حدود منخفض الدرجة منفصل في كل منطقة من المتنبّئ ثم الإصرار على أن تلتقي القطع التقاءً سليمًا. فإن تُركت بلا قيود تخالفت القطع عند الحدود: فملاءمة أربعة تكعيبيات مستقلة لمئتَي نقطة محاكاة بعقد عند 40 و50 و60 تنتج قفزات نحو 6.3 و5.5 و6.3 وحدة في القيمة الملائَمة. واشتراطُ الاتصال واتصال المشتقة الأولى واتصال المشتقة الثانية يزيل تلك القفزات، وكل قيد يكلّف درجة حرية واحدة بالضبط، فينقل كثير الحدود المجزّأ ذا العقدة الواحدة من ثماني معلمات إلى خمس.

والصورة العملية نموذج دوالّ أساس، فلا تغادر الملاءمة المربعات الصغرى الاعتيادية قط. فابتداءً من x وx² وx³، أضف عمود قوة مبتورة واحدًا لكل عقدة، هو ‎(x − ξ)³‎ حين تتجاوز x العقدة وصفر فيما عدا ذلك. وإضافة عمود كهذا لا تغيّر إلا المشتقة الثالثة عند تلك العقدة، وتترك القيمة والميل والانحناء متصلة، ولهذا لا يلزم فرض القيود على حدة. ومن ثمّ فالشريحة التكعيبية بـK عقدة انحدارٌ على K + 4 عمودًا، ولأن الانقطاع في المشتقة الثالثة غير مرئي للعين، فالتكعيبي هو الاختيار الاصطلاحي.

والشرائح غير موثوقة عند أطراف البيانات، حيث لا تكون للتكعيبي مشاهدات إلا على جانب واحد ويكون حرًّا في التأرجح. والشريحة الطبيعية تضيف اشتراط أن تكون الدالة خطية وراء أبعد العقد، وهو قيدان عند كل طرف وينقل ملاءمةً بـK عقدة إلى K درجة حرية، فيضيّق حزم الثقة هناك تضييقًا ملحوظًا. وتوضع العقد عادةً عند شرائح كمّية منتظمة من المتنبّئ المرصود، بحيث تتبع الدقةُ البياناتِ، ويُختار عددها بالتحقق المتقاطع. وبالمقارنة مع كثير حدود عند درجات الحرية نفسها تفوز الشريحة لأن مرونتها موضعية: فكثير الحدود يرفع درجته على امتداد المدى كله ويتأرجح بشدة في الذيول.

والشريحة الملسّاء تهجر اختيار العقد جملةً. فهي تصغّر مجموع مربعات البواقي زائدَ جزاء قدره λ مضروبًا في تكامل مربع المشتقة الثانية، وهو مقياس مباشر للخشونة يساوي صفرًا للمستقيم. ويتبيّن أن المُصغِّر شريحة تكعيبية طبيعية بعقدة عند كل مشاهدة فريدة، مقلَّصة بـλ. ومن ثمّ فعدد معلماتها الاسمي n، لكن المقياس ذا المعنى هو درجات الحرية الفعّالة، وهي تهبط من n نحو 2 كلما كبر λ؛ وعند λ الكبير تعيد الملاءمة إنتاج مستقيم المربعات الصغرى بالضبط. والانحدار الموضعي يبلغ غايات مشابهة بملاءمة انحدار موزون عند كل نقطة هدف، يحكمه مدى، والنماذج الجمعية المعمّمة تحمل الفكرة كلها إلى عدة متنبّئات بإعطاء كل منها منحناه الخاص ثم جمعها.

خذ ‎f(x) = 1 + 2x − 0.05x² + 0.001x³ + 0.004(x − 50)³₊‎ وخذ فروقها على جانبَي العقدة عند 50. تخرج القفزات في القيمة والمشتقة الأولى والمشتقة الثانية عند ‎9 × 10⁻⁴‎ و‎4 × 10⁻⁵‎ و‎4 × 10⁻⁶‎، وهي ضجيج عددي، بينما تقفز المشتقة الثالثة بمقدار 0.024، أي ‎6 × 0.004‎ بالضبط.

وملاءمة شريحة تكعيبية بعقد عند 40 و50 و60 لمئتَي نقطة محاكاة مسألةُ مربعات صغرى بسبعة أعمدة، ‎K + 4 = 3 + 4‎. وأخذ فروق المنحنى الملائَم عند كل عقدة يعطي قفزات من رتبة ‎10⁻⁴‎ أو أصغر، مقابل قفزات تتجاوز ستّ وحدات للملاءمة غير المقيّدة المجزّأة على البيانات نفسها.

وعلى البيانات نفسها، شريحة ملسّاء بعقدة عند كل نقطة درجاتُ حريتها الفعّالة 186.2 عند ‎λ = 10⁻⁶‎، تهبط إلى 2.06 عند ‎λ = 10⁶‎ وإلى 2.00 بالضبط عند ‎λ = 10¹⁸‎، حيث يطابق مجموع مربعات بواقيها مستقيمَ المربعات الصغرى الاعتيادي حتى الجزء من المئة، عند 12,850.75.