Comprendre Intervalle de confiance
Une estimation seule ne dit rien de sa propre précision. Un intervalle de confiance rattache cette information manquante en rapportant une plage plutôt qu’un point, assortie d’une promesse sur sa construction : appliquez cette procédure échantillon après échantillon, et la fraction annoncée des intervalles obtenus contiendra la vraie valeur.
La promesse porte sur la procédure, et c’est la part la plus facile à mal lire. Une fois les données recueillies et les nombres fixés, l’intervalle couvre la vérité ou non, et aucune probabilité ne reste à attribuer. Dire qu’il y a 95 % de chances que le paramètre soit dans un intervalle calculé traite une inconnue fixe comme si elle était aléatoire. La lecture utilisable est fréquentiste : les intervalles bâtis ainsi ont raison 95 % du temps, et celui-ci en est un.
Deux sources d’incertitude apparaissent quand la dispersion de la population est inconnue, et le quantile normal n’en prend en compte qu’une. À n = 10, le quantile normal 1,959964 donne une couverture exacte de 0,918351 plutôt que 0,95, car l’estimation de la dispersion est elle-même incertaine ; le quantile de Student 2,262157 est la correction, exacte et non conservatrice pour des observations normales. L’écart se resserre avec les données : à 29 degrés de liberté le quantile vaut déjà 2,045230.
Pour une proportion, l’intervalle usuel échoue d’une manière qui mérite d’être vue en entier, car le même échantillon malchanceux déplace le centre et dimensionne mal la largeur. À n = 50, l’énumération exacte des 51 issues donne une couverture de 0,878917 à p = 0,1 et de 0,394848 à p = 0,01 - ce dernier cas parce que 0,605006 de ces échantillons ne contiennent aucun succès, ce qui annule l’erreur type estimée et réduit l’intervalle à un point unique. L’intervalle de Wilson, qui ne tire pas sa largeur du même faux pas, donne 0,970308 là où l’usuel donne 0,878917.
Comment calculer
x̄ ± t_{α/2,n−1}·s/√n, coverage = P(L(X) ≤ θ ≤ U(X))
où
- x̄, s
- la moyenne et l’écart-type de l’échantillon, tous deux calculés sur les données
- t_{α/2,n−1}
- le quantile de Student ; 2,262157 pour un intervalle à 95 % à n = 10
- θ
- la valeur de population, fixe et inconnue - non aléatoire, d’où la probabilité portée par L et U
- L(X), U(X)
- les bornes, aléatoires parce que calculées à partir de l’échantillon
Exemple : Intervalle de confiance
Vingt mille échantillons simulés de taille 10 issus d’une population normale, chacun donnant un intervalle de Student à 95 % pour la moyenne, couvrent la vraie moyenne 0,95 du temps. Remplacer le quantile de Student par le quantile normal abaisse la couverture exacte à 0,918351.
L’intervalle usuel pour une proportion à n = 50, évalué exactement sur les 51 issues possibles : 0,919867 à p = 0,05, 0,878917 à p = 0,1, 0,937531 à p = 0,2 et 0,935091 à p = 0,5. L’intervalle de Wilson aux mêmes points donne 0,962224, 0,970308, 0,950701 et 0,935091 - identique à p = 0,5, nettement meilleur là où l’usuel échoue.
La couverture n’est pas monotone en la taille d’échantillon. À p = 0,2, l’intervalle usuel couvre 0,951214 à n = 23 et 0,872862 à n = 24 : une observation de plus coûte près de huit points. La couverture baisse d’une taille à la suivante à 29 des 180 pas entre 20 et 200, mais trois de ces baisses seulement dépassent cinq points.
Questions fréquentes
Y a-t-il 95 % de chances que la vraie valeur soit dans mon intervalle ?
Non. La vraie valeur est fixe et votre intervalle est fixe : elle y est ou elle n’y est pas. Ce qui vaut 95 %, c’est le taux de succès à long terme de la procédure qui l’a produit.
Un intervalle plus large signifie-t-il une moins bonne étude ?
Il signifie une étude moins précise, ce qui est honnête plutôt que mauvais. La largeur décroît comme la racine carrée de la taille : avec un écart-type de population de 2, l’erreur type vaut 0,4 à n = 25 et 0,2 à n = 100, si bien que chaque division par deux coûte quatre fois plus de données.
Quand faut-il éviter l’intervalle usuel pour une proportion ?
Chaque fois que la proportion peut être proche de 0 ou de 1, et en pratique plus souvent encore. Sa couverture est erratique en la taille d’échantillon plutôt que convergente, si bien que des vérifications comme np > 5 ne la rendent pas fiable. L’intervalle de Wilson le remplace directement.
En résumé
Un intervalle de confiance rapporte honnêtement la précision, à condition de lire sa promesse comme une propriété de la procédure et non de l’intervalle qui est devant vous. Et la promesse ne vaut que ce que vaut la construction : l’intervalle usuel pour une proportion couvre 0,878917 là où il annonce 0,95, si bien que le choix de l’intervalle est une vraie décision.