الاستقرارية والانحدار الزائف

إليك نتيجة تُعاد في عشرة أسطر، وينبغي أن تقلق.

خذ سلسلتين لا علاقة بينهما البتّة: مولَّدتين من أعداد عشوائية منفصلة، في سطرين منفصلين من برنامج، دون أيّ مدخل مشترك. انحدر إحداهما على الأخرى واختبر الميل عند المستوى المعتاد 5٪.

على 2000 زوج من 200 نقطة، يخرج الميل معنوياً في 82.8٪ من الحالات.

لا 5٪، وهو ما ينبغي أن يعطيه اختبار سليم على بيانات لا رابط بينها. بل ثلاثة وثمانون بالمئة. الحساب صحيح، والأعداد العشوائية سليمة، والقيم الاحتمالية تخرج من الصيغة نفسها التي تعمل في مواضع أخرى.

ما هي هاتان السلسلتان

كلّ واحدة مسيرة عشوائية: ابدأ من الصفر وأضف في كلّ خطوة سحبة مستقلّة من التوزيع الطبيعي القياسي.

$$X_t = X_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim N(0, 1)$$

لا شيء مخبّأ هناك. وسلسلتان مبنيّتان على سحبات منفصلة مستقلّتان بحكم البناء، ولا تأمّل يجعل إحداهما تخبر عن الأخرى.

لماذا يفشل الاختبار

المسيرة العشوائية لا مستوى لها تعود إليه. فأيّاً كانت القيمة التي تبلغها، تنطلق الخطوة التالية من عندها لا من موضع راحة، فيتراكم الانزياح بدل أن يتوسّط.

ويظهر ذلك في تباين ينمو مع الزمن. مقيساً على 3000 تكرار:

أي $t$ نفسه تقريباً، وهو الجواب النظري: مجموع $t$ خطوة مستقلّة ذات تباين واحدي تباينه $t$.

تخيّل الآن سلسلتين كهاتين على 200 نقطة. تذهب كلّ واحدة إلى مكان وتبقى فيه حيناً، لأنّ الابتعاد سهل والعودة ليست كذلك. وعلى أيّ نافذة منتهية، كثيراً ما تنجرف السلسلتان الهائمتان في اتّجاه متّسق إحداهما بالنسبة إلى الأخرى، فيبدو مخطّط انتشار إحداهما مقابل الأخرى خطّاً.

ولا سبيل للانحدار إلى خصم ذلك. فقد بُني على افتراض أنّ المشاهدات سحبات مستقلّة، فيعدّ 200 نقطة من الانجراف المشترك 200 دليلاً مستقلّاً. وهي أقرب إلى دليل واحد.

زوج واحد لا يثبت شيئًا: فمن حقك أن تفترض أنك رأيت الزوج الذي اصطفّ بالصدفة. لذا يعرض الشكل أدناه زوجًا، وإلى جانبه معدّل الرفض على أربعمئة زوج آخر سُحبت بالطريقة نفسها. اضغط لتوليد زوج آخر كما تشاء. ثم انتقل إلى الفروق الأولى: إنها الأزواج نفسها، ولم يتغيّر شيء في البيانات، ومع ذلك يهبط المعدّل من أربعة من كل خمسة إلى واحد من كل عشرين.

الاستقرارية، بعبارة دقيقة

السلسلة مستقرّة حين لا يتوقّف سلوكها الإحصائي على لحظة النظر إليها. تقول الصيغة الصارمة إنّ التوزيع المشترك لأيّ كتلة من المشاهدات لا يتغيّر بإزاحتها في الزمن. أمّا الصيغة المستعملة عملياً، وتسمّى الضعيفة أو استقرارية التغاير، فتطلب ثلاثة أمور:

1. ألّا يتوقّف المتوسّط $E[X_t] = \mu$ على $t$
2. ألّا يتوقّف التباين $\mathrm{Var}(X_t) = \sigma^2$ على $t$
3. ألّا يتوقّف التغاير $\mathrm{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \gamma_k$ إلّا على الفجوة $k$، لا على موضع النافذة

وتخفق المسيرة العشوائية في الشرطين الأخيرين. تباينها $t$، وبنية تغايرها تتحرّك مع النافذة.

ولماذا يهمّ هذا في الاستدلال أكثر ممّا يهمّ في الوصف: كلّ تقدير يستعير قوّته من مجموع المشاهدات، وهذا لا معنى له إلّا إذا كانت تلك المشاهدات تصف العملية نفسها. فحين يهيم المستوى، يكون المتوسّط على النافذة متوسّطاً على عوالم مختلفة، ويصف مجال الثقة حوله كمّيةً لم توجد قطّ.

الإصلاح، وثمنه

المسيرة العشوائية مجموع تراكمي لخطواتها، فأخذ الفروق الأولى يعيد تلك الخطوات:

$$\nabla X_t = X_t - X_{t-1} = \varepsilon_t$$

وهي مستقلّة، متوسّطها صفر، وتباينها ثابت، أي الشروط التي يحتاجها الاختبار بالضبط. وانحدار الأزواج الـ2000 نفسها بالفروق الأولى يعطي معدّل معنوية 4.2٪، مقابل الـ5٪ التي ينبغي أن يعطيها اختبار سليم.

والثمن ليس صفراً، والأولى ذكره لا دفنه. فالنموذج المفروق يربط تغيّرات سلسلة بـتغيّرات الأخرى. وإن كان السؤال عن المستويات فقد استُبدل به سؤال آخر، ويجب أن يُعرض الجواب بوصفه جواباً عن ذلك السؤال.

كما أنّ الفرق ليس علاجاً شاملاً. فهو يزيل اتّجاهاً عشوائياً، لكنّه إن طُبّق على سلسلة مستقرّة أصلاً أضاف ضجيجاً بلا مقابل. والاتّجاه الحتمي المستقيم يُعالَج بملاءمته ثمّ طرحه. والتباين الذي ينمو ضربياً يستدعي لوغاريتماً أوّلاً.

العادة التي ينبغي أن يتركها هذا

مزيد من البيانات لا ينقذك هنا. فمعدّل الرفض الزائف لا ينخفض بطول السلسلة، بل يرتفع، لأنّ النافذة الأطول تمنح السلسلتين مجالاً أوسع للهيام. وهذه سِمة التحيّز لا الضجيج، وهي الشكل نفسه الذي يتّخذه الخلط: خاصّية في كيفية نشأة البيانات، لا في كمّيتها.

فالسؤال الأوّل عن أيّ سلسلة هو ثبات سلوكها في الزمن، والأداة الأولى الصادقة هي الرسم. فالمستوى الهائم أو التشتّت المتّسع يُرى عادة بالعين. وثمّة اختبارات صورية، لكنّ قوّتها ضعيفة أمام البدائل البطيئة: فاختبار لا يرفض دليلٌ ضعيف على الاستقرارية، لا شهادة براءة.

ما الذي يمهّد له هذا

الاستقرارية هي الشرط الذي يعطي بقيّة الأدوات معنى. والسؤال التالي هو ما تقيسه تلك الأدوات عندئذ: إذا كانت السلسلة مستقرّة فإنّ اعتمادها على ماضيها شيء ثابت قابل للتقدير، وهذا الاعتماد هو في آنٍ واحد ما يجعل التنبّؤ ممكناً وما يجعل الأخطاء المعيارية المعتادة خاطئة بعامل يمكن حسابه.