العوالم الممكنة والبديهيتان

ارمِ نردين. كم شيئاً مختلفاً يمكن أن يحدث؟

يجيب أكثر الناس بـ21، عادّين التوافيق: فالـ2 مع الـ5 هي الرمية نفسها التي فيها 5 مع 2. والجواب الصحيح 36، والفرق بين هذين العددين هو سبب وجود هذا الدرس كلّه. فإن أخطأتَ قائمة ما يمكن أن يحدث، أخطأ معها كلّ احتمال تحسبه بعد ذلك.

ولا يحتاج شيء هنا إلى احتمالات لا تملكها أصلاً. فهما قاعدتان اثنتان، وكلّ ما عداهما في هذا الدرس مشتقٌّ منهما أمامك.

العوالم الممكنة

يصوغ راسل ونورفيغ الاحتمال بلغة العوالم الممكنة: والعالم الواحد صورة كاملة لكيفية انتهاء الأمور. فحيث تستبعد العبارة المنطقية عوالم، تقول العبارة الاحتمالية ما مدى ترجيح كلٍّ منها.

واكتب مجموعة هذه العوالم جميعاً ‎$\Omega$‎، وهو حرف أوميغا اليوناني الكبير، ويسمّى فضاء العيّنة. والعالم المفرد فيها ‎$\omega$‎، أوميغا الصغير. ولا بدّ أن تكون العوالم:

• متنافية، أي لا يمكن أن يتحقّق اثنان منها معاً،
• وشاملة، أي لا بدّ أن يتحقّق أحدها.

وعُد إلى النردين. فإن أمكنك التمييز بينهما كان العالم زوجاً مرتّباً: ما يظهره النرد الأول ثمّ ما يظهره الثاني. وذلك يعطي

$$(1,1),\ (1,2),\ \dots,\ (6,6), \qquad 6 \times 6 = 36 .$$

أمّا العدّ الذي يعطي 21 فيعامل ‎$(2,5)$‎ و‎$(5,2)$‎ عالماً واحداً. وهما عالمان، وجمعهما في واحد يطمس في صمت فرقاً حقيقياً: فالزوج المختلط مثل ‎$\{2,5\}$‎ أرجح فعلاً بمقدار الضِعف من زوجٍ مكرّر مثل ‎$(3,3)$‎، بينما يمنحهما نموذج العوالم الواحد والعشرين القيمة نفسها ‎$1/21$‎. وهذه أشيع زلّة في الباب كلّه، وتقع قبل أن تُكتَب أيّ صيغة.

البديهيتان

$$0 \le P(\omega) \le 1 , \qquad \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1 .$$

اقرأهما بالكلمات. تقول الأولى، ولكلّ عالم ‎$\omega$‎، إنّه ليس أقلّ ترجيحاً من المستحيل ولا أكثر من المؤكّد. وتقول الثانية إنّ احتمالات العوالم كلّها تجمع إلى واحد، وهي طريقة صوريّة لقول إنّ شيئاً ما يحدث.

وهذا هو الأساس كلّه. فإن كان النردان متوازنين حمل كلّ عالم، بالتماثل، الاحتمال نفسه، وفرضت البديهية الثانية أن تكون تلك القيمة المشتركة ‎$1/36$‎.

الأحداث

الحدث ليس إلّا مجموعة عوالم: فـ«المجموع 7» هو الحدث الذي يضمّ العوالم الستّة ‎$(1,6), (2,5), \dots, (6,1)$‎. واحتماله المجموع على العوالم التي فيه:

$$P(a) = \sum_{\omega \in a} P(\omega) .$$

هذا هو التعريف. أمّا القاعدة المدرسية، «النتائج المؤاتية على النتائج الكلّية»، فليست إلّا الحالة الخاصّة التي تتساوى فيها ترجيحات كلّ العوالم. والنرد المغشوش يملك نموذج احتمال سليماً تماماً، غاية ما في الأمر أنّه يُسنِد قيم ‎$P(\omega)$‎ غير متساوية، والمجموع أعلاه يظلّ صالحاً.

اشتقاق قاعدة المتمّم

وهذا أوّل اشتقاق، وهو سطران. ليكن ‎$\neg a$‎ بمعنى «لا يقع $a$». فالعوالم التي يصدق فيها ‎$a$‎ وتلك التي يصدق فيها ‎$\neg a$‎ لا تشترك في شيء وتغطّي معاً ‎$\Omega$‎ كلّه. فتقسيم مجموع البديهية الثانية على هاتين الفئتين يعطي

$$P(a) + P(\neg a) = 1 \quad\Longrightarrow\quad P(\neg a) = 1 - P(a) .$$

ولم يُفترض شيء وراء البديهيتين. وهذا نمط كلّ ما يأتي بعد: اشتقّ ولا تحفظ.

قاعدة الجمع

فماذا عن «$a$ أو $b$» حين يمكن أن يقعا معاً؟ جمع احتماليهما يعدّ العوالم المشتركة بينهما مرّتين، فاطرح ذلك التقاطع مرّة واحدة بالضبط. ونكتب الاتّحاد ‎$a \cup b$‎ والتقاطع ‎$a \cap b$‎:

$$P(a \cup b) = P(a) + P(b) - P(a \cap b) .$$

مثال محلول. اسحب ورقة واحدة من 52. فيها 13 كُبّة و4 ملوك، فيكون احتمال الكُبّة ‎$13/52$‎ واحتمال الملك ‎$4/52$‎. وورقة واحدة بالضبط هي الاثنان معاً، وهي ملك الكُبّة، ومن ثمّ

$$\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} .$$

والجمع الساذج يعطي ‎$17/52$‎. وعُدّ الأوراق بيدك تجدها 16 لا 17: فملك الكُبّة عُدّ مرّةً بوصفه كُبّة ومرّةً بوصفه ملكاً.

عُدّها بنفسك. يبدأ الشكل من هذا المثال: الأوراق كلها مرسومة، وملك الكُبّة مُبرَز بوصفه العالم الوحيد الذي يعدّه الجمع الساذج مرّتين. غيّر الحدث A والحدث B، أو انتقل إلى نردان: 36 عالمًا، وفي كل مرّة يُقابَل العدّ المباشر لـ«A أو B» بقاعدة الجمع.

الاشتراط والاستقلال

معرفة أنّ ‎$b$‎ قد وقع تقلّص مجموعة العوالم التي ما تزال قائمة، فيجب إعادة تسوية الاحتمال على ما بقي. وهذا بالضبط ما هو الاحتمال الشرطي:

$$P(a \mid b) = \frac{P(a \cap b)}{P(b)}, \qquad P(b) > 0 .$$

واقرأ ‎$P(a \mid b)$‎: «احتمال $a$ بمعلومية $b$». والمقام هو إعادة التسوية: فأنت الآن تعيش داخل العوالم التي يصدق فيها ‎$b$‎. وبإعادة الترتيب تحصل على قاعدة الضرب ‎$P(a \cap b) = P(b)P(a \mid b)$‎، وهي صحيحة دائماً.

ويكون الحدثان مستقلّين حين لا تخبرك معرفةُ ‎$b$‎ بشيء عن ‎$a$‎، أي حين ‎$P(a \mid b) = P(a)$‎. وعندئذ فقط تنهار قاعدة الضرب إلى الصورة المألوفة ‎$P(a)P(b)$‎.

تحقّق من الاستقلال ولا تفترضه أبداً. فضرب الاحتمالات صحيح في ظل الاستقلال فقط. وحين يدفع سببٌ مشترك نتائجَ كثيرة دفعةً واحدة، تكون الأحداث شديدة الترابط ويقلّل الضرب تقليلاً فادحاً من احتمال وقوع كثير منها معاً.

وليست هذه الجملة الأخيرة تفصيلاً تقنياً. فهي وضع الإخفاق وراء محافظ التأمين المسعَّرة خطأً وأعطال الأنظمة المستهان بها، وستلقاها ثانيةً في بايز ومعدّل الأساس.

شاهده يتحرّك. أعد تشكيل توزيع وراقب أين تستقرّ كتلته: البديهيتان نفساهما، وصور شديدة الاختلاف.

جرّبه مباشرةً. خذ عيّنات من عائلتين معياريتين، وتحقّق من عزومهما، وراقب مبرهنة النهاية المركزية وهي تظهر:

قبل الاختبار

تأكّد أنّك تستطيع، دون العودة إلى الوراء: عدّ عوالم نردين وقول لماذا هي 36 لا 21، واشتقاق قاعدة المتمّم من البديهيتين، وقول ما الذي تطرحه قاعدة الجمع ولماذا. والمعالجة الأطول، مع مزيد من الأمثلة المحلولة، في الاحتمالات من الصفر.