منطق الرتبة الأولى

لا يستطيع المنطق القضوي إلا تركيب عبارات كاملة غير قابلة للتجزئة. يستطيع أن يقول إن المطر ينزل وإن الأرض مبتلّة، لكن لا سبيل لديه للحديث عن الأشياء وعلاقاتها، ولا لصوغ قاعدة عامة تنطبق على كل شيء من نوع ما. فكل حالة ستحتاج كتابةً منفصلة.

ويضيف منطق الرتبة الأولى البنية الناقصة. فالحدود تسمّي الأشياء، والمحمولات تعبّر عن خصائصها والعلاقات بينها، والدوال تنقل الأشياء إلى أشياء، والمُكمِّمات تجول على الأشياء. فالمُكمِّم الكلي يثبت شيئًا لكل موضوع، والوجودي يثبت وجود واحد على الأقل. وهذا ما يتيح لجملة واحدة أن تلتقط قاعدة عامة.

وتؤلف الجمل من هذا النوع قاعدة معرفة يمكن إجراء الاستدلال عليها: اشتقاق نتائج تلزم بالضرورة عمّا أُثبت. والإجراء الاستدلالي السليم لا يشتق إلا نتائج صادقة، والتام يستطيع اشتقاق كل نتيجة لازمة. وتطبّق برامج البرهنة الآلية مثل هذه الإجراءات، وأشيعها بالحلّ بالطيّ.

وللقدرة التعبيرية كلفة. فالاستدلال في منطق الرتبة الأولى شبه قابل للبتّ، فقد يؤكد الإجراء اللزوم لكنه قد يدور بلا نهاية على استعلام غير لازم. والمنطق قاطع: فالعبارة صادقة أو كاذبة، بلا سبيل للتعبير عن أن شيئًا محتمل فحسب. وتمثيل عدم اليقين هو تحديدًا سبب وجود الأطر الاحتمالية كالشبكات البايزية إلى جانب الأطر المنطقية.

القاعدة «كل طالب ينجح في الامتحان يحصل على شهادة» جملة واحدة من الرتبة الأولى مكمَّمة على كل الأشياء: لكل x، إن كان x طالبًا ونجح x، فإن x يحصل على شهادة. أما المنطق القضوي فسيحتاج عبارة منفصلة لكل طالب.

وإضافة الوقائع الجزئية بأن أمينة طالبة وأن أمينة نجحت تتيح لإجراء استدلالي أن يشتق أن أمينة تحصل على شهادة. ولم تُذكر هذه النتيجة قط؛ بل تلزم بالضرورة عن القاعدة العامة مقترنةً بالوقائع الجزئية.

والإطار جامد على نحو كاشف. فعبارة «معظم الطلاب الناجحين يحصلون على شهادة» لا يمكن التعبير عنها البتة: إذ لا يقدّم منطق الرتبة الأولى إلا «كل» و«بعض». وتمثيل هذه المنطقة الوسطى يستلزم الاحتمال، وهذا من أهم أسباب استكمال المناهج المنطقية الصرفة بمناهج احتمالية.