السمتان اللتان تبدوان ضجيجًا

ليكن $X$ منتظمًا على $\{-2, -1, 1, 2\}$ وليكن $Y = |X|$. فمعرفة $X$ تعطيك $Y$ يقينًا. والارتباط بينهما

$$\rho(X, Y) = 0.0000000000,$$

بالضبط، بالتناظر. فالارتباط يقيس شيئًا واحدًا: كم من $Y$ يتحرّك خطّيًّا مع $X$. وهنا لا شيء منه يفعل، وكلّه محدَّد.

والمعلومة المتبادلة لا تنخدع:

$$H(X) = 2, \qquad H(Y) = 1, \qquad I(X;Y) = 1,$$

بالبتّات. فمعرفة $X$ تزيل عدم اليقين في $Y$ كلَّه. وهذا الشطر من الحكاية مألوف، والخلاصة المعتادة «استعمل المعلومة المتبادلة بدل الارتباط». أمّا التركيب الثاني فهو الذي ينبغي أن يقلقك، لأنّ المعلومة المتبادلة لا تنقذك منه أيضًا.

أ. ثلاثة متغيّرات، ولا زوج مُخبِر

ليكن $A$ و$B$ بتّين عادلين مستقلّين، وليكن $C = A \oplus B$، أي الفصل الحصري. فكل معلومة متبادلة ثنائيّة:

$$I(A;B) = I(A;C) = I(B;C) = 0.0000000000,$$

بالبتّات. فأيّ اثنين من الثلاثة مستقلّان. انظر إلى $A$ وحده يبدُ $C$ رميةَ عملة. وانظر إلى $B$ وحده يبدُ $C$ رميةَ عملة. ومع ذلك

$$I(A, B \,;\, C) = 1,$$

أي بتّ واحد، وهو $C$ كلُّه. فالزوج يحدّد الهدف تمامًا، ولا يحمل أيٌّ من عضويه بتًّا واحدًا عنه.

افتح التبويب الثاني في الشكل، الثنائي الذي يختبئ معًا، لترى هذا الزوج: كل مدخل بمفرده يحمل 0 بتّ عن الهدف، والزوج معًا يحمل بتًّا واحدًا.

ب. ماذا يفعل هذا باختيار السمات

الخطوة الأولى المعتادة على بيانات عريضة هي الغربلة أحاديّة المتغيّر: تُقيَّم كل سمة في مواجهة الهدف، وتُبقى أعلاها، ويُنمذَج عليها. والارتباط، والمعلومة المتبادلة، ومساحة تحت المنحنى لسمة واحدة، واختبار مربّع كاي - لا يهمّ أيّها، فكلّها تتّفق هنا.

فعلى بيانات الفصل الحصري تقيّم كلُّ طريقة غربلة $A$ و$B$ بصفر بالضبط وتطرح الاثنتين. وغربلةٌ تبقي أعلى 10% من ألف سمة ستطرحهما؛ وغربلةٌ تبقي أعلى 90% ستطرحهما. فهما ليستا قرب العتبة، بل في القاع.

وليس هذا الإخفاق زاويةً نادرة. فكل سمة تعمل من خلال تفاعل تبدو هكذا بدرجةٍ ما:

• دواءٌ ينفع نمطًا جينيًّا ويضرّ آخر، بلا أثر رئيس
• ضابطٌ لا يهمّ إلّا فوق حرارة معيّنة
• الفرق بين قياسين لا يُخبر أيٌّ منهما وحده
• أيّ هدف يعتمد على تكافؤ، أو نسبة، أو تطابق بين حقلين

ج. ما البديل

• غربِل بنموذج يرى الأزواج. فشجرةٌ معزَّزة ضحلة على كل السمات، مقيَّمةً بأهمّيّة التبديل، تجد $A$ و$B$ فورًا، لأنّ شجرةً بعمق اثنين تمثّل الفصل الحصري، والشقّ الواحد لا يمثّله.
• غربِل كتلًا لا آحادًا، حين يكون للسمات بنية معلومة: طرفا قياس، وما قبلُ وما بعدُ، وزوج الحقلين اللذين يُقارنان لاحقًا.
• ابنِ التفاعل إن ظننته. ففرقٌ أو نسبةٌ أو جداءٌ يُحسب قبل الغربلة يحوّل أثرًا زوجيًّا إلى أثر أحادي، ويُفحص في سطر.
• عامل «لم تكن أيّ سمة تنبّئيّة» فرضيّةً لا نتيجة. فجدول الفصل الحصري هو شكل تلك الخلاصة حين تكون خاطئة.

والقول العامّ جدير بالحفظ بالصيغة المضبوطة التي تعطيه إيّاها الأرقام. فاستقلال كل زوج لا يستلزم استقلال المجموعة: توزيع $(A, B, C)$ المشترك ليس جداءَ هوامشه مع أنّ كل هامش ثنائي يتحلّل. وكل إجراء غربلة يقيّم السمات واحدةً واحدة يفترض العكس.