المنطق وتمثيل المعرفة

معظم هذا الموقع عن التعلّم من البيانات - تقدير كميات غير يقينية، والدقّة في مقدار لايقينها. لكن في الذكاء الاصطناعي تقليداً أقدم يطرح سؤالاً مختلفاً: بمعلومية ما أعرفه بالفعل، ما الذي يجب أن يكون صادقاً؟

وليس هذا سؤالاً إحصائياً. فله جواب محدّد، والآلية التي تحسبه هي المنطق.

أ. قواعد المعرفة والنماذج والاستلزام

قاعدة المعرفة (KB) مجموعة عبارات مُثبَتة صادقةً عن العالم. والنموذج إسناد كامل لقيم الصدق لكل قضية - أي عالم ممكن محدَّد بتمامه. والعبارة صادقة في بعض النماذج كاذبة في غيرها، ونكتب $M(\alpha)$ لمجموعة النماذج التي تصدق فيها $\alpha$.

والعلاقة المركزية هي الاستلزام:

$\text{KB} \models \alpha$ - وتُقرأ «قاعدة المعرفة تستلزم $\alpha$» - تعني أن $\alpha$ صادقة في كل نموذج تصدق فيه قاعدة المعرفة. وبالتكافؤ، $M(\text{KB}) \subseteq M(\alpha)$.

والفكرة مألوفة من الحساب، حيث $x = 0$ تستلزم $xy = 0$: ففي أي عالم يكون فيه $x$ صفراً يكون $xy$ صفراً أيضاً، مهما كان $y$.

والاستلزام واقعة تتعلّق بالمعنى لا بأي خوارزمية. ويصوغ راسل ونورفيغ التمييز صياغةً لا تُنسى: تصوّر لوازم قاعدة المعرفة كومةَ قشّ و$\alpha$ إبرة. فالاستلزام هو أن الإبرة في الكومة؛ والاستنتاج هو العثور عليها.

ب. حلّ استلزام يدوياً

خذ الوضع المعياري. وكيل يستكشف شبكة كهوف بعضها يحوي حفراً. وتكون الخانة ذات نسيم عندما تحوي خانة مجاورة حفرة بالضبط. ويبدأ الوكيل عند $[1,1]$، فلا يشعر بنسيم، وينتقل إلى $[2,1]$، فيشعر بنسيم.

وثلاث خانات موضع سؤال: $[1,2]$ و$[2,2]$ و$[3,1]$. وكلٌّ منها إما تحوي حفرة وإما لا، فهناك $2^3 = 8$ عوالم ممكنة.

وتقول قاعدة المعرفة أمرين:

• لا نسيم عند $[1,1]$. وجارتاها $[1,2]$ و$[2,1]$، فلا تحوي أيٌّ منهما حفرة. وبخاصة $[1,2]$ خالية من الحفر.
• نسيم عند $[2,1]$. وجاراتها $[1,1]$ و$[2,2]$ و$[3,1]$. وقد وقف الوكيل آمناً في $[1,1]$، فواحدة على الأقل من $[2,2]$ و$[3,1]$ تحوي حفرة.

لنعدّ الثمانية جميعاً ونعلّم حيث تصدق قاعدة المعرفة:

ينجو ثلاثة نماذج بالضبط. ولنختبر الآن استنتاجين مرشّحين.

$\alpha_1$: «لا حفرة في $[1,2]$». صادقة في النماذج الثلاثة الناجية جميعاً. ومن ثم $\text{KB} \models \alpha_1$ - فللوكيل أن ينتقل إلى هناك بأمان.

$\alpha_2$: «لا حفرة في $[2,2]$». كاذبة في اثنين من الثلاثة. ومن ثم $\text{KB} \not\models \alpha_2$. ولاحظ بدقّة ما لا يقوله هذا: فهو لا يثبت أن هناك حفرة في $[2,2]$ أيضاً، إذ إن نموذجاً ناجياً واحداً لا حفرة فيه. والاستنتاج الأمين أن القرائن لا تحسم الأمر.

وهذا الإجراء - عدّ كل نموذج، والتحقّق من أن $\alpha$ تصدق حيثما تصدق قاعدة المعرفة - هو فحص النماذج، وهو نقل مباشر لتعريف الاستلزام.

العوالم الثمانية كلها في الشكل أدناه، والثلاثة الناجية من قاعدة المعرفة معلَّمة. اختر نتيجةً يعلّم لك الجدول ما هو أنفع من ذلك: كلَّ عالم ناجٍ تكذب فيه تلك النتيجة. ففي حالة «لا حفرة في [2,2]» هناك عالمان، وكلٌّ منهما عالم متّسق تمامًا مع كل ما نعرفه، وهذا هو معنى «غير مستلزَمة»، ولهذا يكون تأكيد العكس بلا سند بالقدر نفسه. أوقِف إحدى قضايا القاعدة وراقب المجموعة الناجية تتّسع.

ج. السلامة والاكتمال والكلفة

ما إن يصير الاستنتاج إجراءً لا تعريفاً، تصير خاصيتان مهمّتين. فالخوارزمية سليمة (أو حافظة للصدق) إذا كان كل ما تشتقّه مستلزَماً فعلاً: فهي لا تخترع استنتاجات. وهي مكتملة إذا استطاعت اشتقاق كل ما هو مستلزَم: فهي لا تفوّت شيئاً.

وفحص النماذج سليم ومكتمل معاً. سليم لأنه ينفّذ التعريف مباشرة، ومكتمل لأن النماذج متناهية العدد وهو يفحصها كلها.

والكلفة هي المشكلة. فمع $n$ رمزاً قضوياً هناك $2^n$ نموذجاً، فالتعقيد الزمني $O(2^n)$ - أما التعقيد المكاني فـ$O(n)$ فقط، إذ يمكن إجراء العدّ بالعمق أولاً. وأعطتنا مجاهيلنا الثلاثة ثمانية صفوف؛ وثلاثون منها تعطي أكثر من مليار.

وليس هذا مجرّد ضعف في خوارزمية ساذجة واحدة. فالبتّ في الاستلزام القضوي co-NP-كامل، فلا طريقة معروفة تتفادى السلوك الأسّي في أسوأ الحالات. ولذا تستخدم الأنظمة العملية قواعد استنتاج تشتقّ الاستنتاجات نحوياً بدل عدّ العوالم - قاعدة الوضع وأخواتها - وهي أسرع بكثير في المسائل النمطية مع بقائها سليمة.

وهذه إحدى تلك الأخوات أدناه وهي تعمل: مُبرهِن بـالحلّ (resolution)، وحسابه ظاهر، على قاعدة معرفة أصغر من التي أعلاه. فهي تحوي القاعدة التي تجعل $[1,1]$ ذات نسيم تمامًا حين يكون في $[1,2]$ أو $[2,1]$ حفرة، $B_{1,1} \Leftrightarrow (P_{1,2} \lor P_{2,1})$، والإدراك $\neg B_{1,1}$، دون أي إدراك في $[2,1]$. وقائمة الفقرات هي تلك القاعدة محوّلةً إلى فقرات مع السؤال منفيًّا، وكل سطر تحتها ناتجُ حلٍّ بالترتيب الذي وجده البحث. اسأل «لا حفرة في [1,2]» فتظهر الخانة الفارغة؛ واسأل «حفرة في [1,2]» فيُشبِع البحث دونها، وذاك جواب لا إخفاق. ويُحسم كل سؤال مرّةً ثانية بتعداد العوالم الثمانية، دون سطر مشترك بين الطريقين، ويقول الشكل هل اتّفقتا.

د. أين ينفد منطق القضايا

كل ما سبق استخدم قضايا: وقائع ذرّية صادقة أو كاذبة ببساطة. وهذا قيد حقيقي، ويظهر حالما تحاول قول شيء عام.

فللتعبير عن «كل الخانات المجاورة لحفرة ذات نسيم» قضوياً، عليك كتابة عبارة لكل خانة، وإعادة كتابتها كلها إن تغيّر حجم الشبكة. أما القاعدة نفسها - وهي ما تعرفه فعلاً - فلا يمكن النطق بها. وحكم راسل ونورفيغ صريح: منطق القضايا لغة أضأل من أن تمثّل معرفة البيئات المعقّدة تمثيلاً موجزاً.

والفرق فرقُ التزام أنطولوجي - أي ما تفترضه اللغة عن طبيعة الواقع:

يفترض منطق الرتبة الأولى أن العالم يحوي أجساماً بينها علاقات. وهذا يشتري مسوّرات - $\forall$ («لكل») و$\exists$ («يوجد») - ومعها العمومية. فتصير قاعدة النسيم عبارةً واحدة مسوّرة على كل الخانات، صادقةً مهما كبرت الشبكة.

ويرتفع الاستنتاج تبعاً لذلك. فـقاعدة الوضع المعمّمة تطبّق القاعدة المألوفة على عبارات تحوي متغيّرات بأن تجد أولاً تعويضاً $\theta$ يجعل المقدّمات تتطابق - وهي عملية تُسمّى التوحيد - ثم تطبّق $\theta$ على النتيجة. فالاستدلال الذي كان يجب تكراره لكل جسم يُؤدّى مرة واحدة، تخطيطياً.

وهذه خوارزمية، فالشكل أدناه يُشغّلها: وسيطًا وسيطًا، وكل ربط مسجَّل لحظة إجرائه، والحدّان مطبوعان بعد تطبيق المُوحِّد حتى تُقرأ كلمة «متطابقان» بدل أن تُدّعى. وإلى جانبها زوجان يفشلان. وفحص الورود هو ما يستحقّ التجربة: فتوحيد x مع Mother(x) لا حلّ له، والتنفيذ الذي يُسقط الفحص يبني حدًّا لا نهائيًّا بدل أن يقول ذلك.

هـ. لماذا ما زال هذا مهماً

من السهل تصنيف هذا في خانة التاريخ. وسيكون ذلك خطأً، لثلاثة أسباب.

بعض المعرفة ليست إحصائية. فالقيود والقواعد والتعريفات والسياسات تُصاغ طبيعياً عباراتٍ تصدق أو تخفق، وتعلّمها من أمثلة بينما يمكنك ببساطة كتابتها إهدارٌ وقلّة موثوقية.

للاستنتاجات المنطقية ضمانات. فإجراء الاستنتاج السليم لا يعيد إجابة خاطئة أبداً، ويستطيع عرض عمله سلسلةَ قواعد مطبَّقة. أما النموذج المُتعلَّم فيقدّم احتمالاً ولا يقدّم عادةً اشتقاقاً. وحيث يجب اعتماد الصحّة لا تقديرها، يكون ذلك الفرق حاسماً.

ولم تختفِ مسألة التمثيل. فكيفية ترميز ما يعرفه نظامٌ ما ليتمكّن من دمجه والاستدلال عليه هي المسألة نفسها سواء كان المحتوى بديهيات مكتوبة يدوياً أم مستخلَصاً من مدوّنة. والأنطولوجيات، والرسوم المعرفية، والمخطّطات المصنّفة، وحلّالات القيود، كلها أحفاد هذا الخط من العمل.

والموقف الواقعي أن التقليدين يجيبان عن سؤالين مختلفين. فالتعلّم يتولّى الإدراك واللايقين؛ والمنطق يتولّى البنية واللزوم المضمون. والأنظمة التي تحتاج الاثنين تنتهي عادةً بالاثنين.

الخلاصات الأساسية

• قاعدة المعرفة عبارات مُثبَتة؛ والنموذج عالم ممكن محدَّد بتمامه.
• $\text{KB} \models \alpha$ تعني أن $\alpha$ تصدق في كل نموذج تصدق فيه قاعدة المعرفة - $M(\text{KB}) \subseteq M(\alpha)$.
• الاستلزام واقعة دلالية؛ والاستنتاج هو البحث عنها - الإبرة وكومة القش.
• في المثال المحلول، انحصرت 8 عوالم ممكنة في 3 متّسقة مع المدركات، فاستلزمت «لا حفرة في $[1,2]$» لكنها تركت $[2,2]$ غير محسومة فعلاً.
• الإخفاق في استلزام $\alpha$ ليس استلزاماً لـ$\neg\alpha$.
• السلامة تعني ألا يخطئ أبداً؛ والاكتمال يعني ألا يفوّت شيئاً. وفحص النماذج يحقّق الاثنين، بزمن $O(2^n)$ ومكان $O(n)$.
• الاستلزام القضوي co-NP-كامل، فالكلفة الأسّية في أسوأ الحالات ذاتية لا أثر لخوارزمية ساذجة.
• لا يستطيع منطق القضايا صوغ قواعد عامة؛ أما منطق الرتبة الأولى فيلتزم بأجسام وعلاقات، فيكسب المسوّرات والاستنتاج المرفوع.

ما التالي

للنظير الاحتمالي - الاستدلال حين لا تكون الوقائع صادقة أو كاذبة ببساطة بل تصدق بدرجة اعتقاد ما - انظر مبرهنة بايز وتحديث الاعتقاد، وللطبقة القرارية المبنيّة فوقها، عمليات القرار الماركوفية.