المنفعة المتوقّعة ومبدأ المنفعة المتوقّعة العظمى

انتهى كل مسار حتى الآن إلى اعتقاد: توزيع بعدي، أو تقدير مرشَّح، أو منحنى ملاءَم. والاعتقادات لا تخبرك بما ينبغي أن تفعل. فالعمل يحتاج كذلك إلى تفضيلات، ونظرية القرار هي الحساب الذي يجمع بين الاثنين.

المنفعة والمنفعة المتوقّعة

دالّة المنفعة $U(s)$ تسند عددًا واحدًا إلى حالة، معبّرًا عن مقدار استحسانها. ولأن الأفعال في عالم غير يقيني لا تحدّد نتيجتها، اكتب $\mathrm{Result}(a)$ للمتغيّر العشوائي الذي قيمُه حالاتُ النتيجة الممكنة. وبمعطى الشاهد $\mathbf{e}$، تكون المنفعة المتوقّعة لفعلٍ ما هي متوسّط منفعة نتائجه موزونًا بالاحتمال:

$$EU(a \mid \mathbf{e}) = \sum_{s'} P\big(\mathrm{Result}(a) = s' \mid a, \mathbf{e}\big)\, U(s') .$$

ومبدأ المنفعة المتوقّعة العظمى هو عندئذ المعيار كلّه:

$$\text{action} = \operatorname*{argmax}_{a} EU(a \mid \mathbf{e}) .$$

ولاحظ ما ليس هو. فليس هو «عظّم أفضل الحالات»، إذ يهمل ذلك المخاطرة إهمالًا تامًّا. وليس هو «ابلغ هدفًا»، لأن عميل نظرية القرار يملك مقياسًا متّصلًا لجودة النتيجة بدل اختبار ثنائي للنجاح. وليس هو «عظّم المال المتوقّع»، فذاك مقدار آخر، وهو في كثير من الأحيان المقدار الخطأ كما يبيّن القسم التالي.

مثال محلول: برنامج المسابقات

لقد فزت. ويعرض عليك المقدّم $1,000,000 نقدًا، أو رمية عملة عادلة: إن ظهرت الصورة لم تنل شيئًا، وإن ظهرت الكتابة نلت $2,500,000. والقيمة المالية المتوقّعة للمقامرة هي

$$\tfrac{1}{2}(\$0) + \tfrac{1}{2}(\$2{,}500{,}000) = \$1{,}250{,}000 ,$$

وهي تفوق المليون المضمون. ومع ذلك يرفض أكثر الناس. أفهم مخطئون؟

اكتب $S_n$ لامتلاك ثروة كلّية مقدارها $n$ دولار، ولتكن ثروتك الحالية $k$ دولار. عندئذ تكون للفعلين منفعتان متوقّعتان

$$EU(\text{Accept}) = \tfrac{1}{2}U(S_k) + \tfrac{1}{2}U(S_{k+2{,}500{,}000}), \qquad EU(\text{Decline}) = U(S_{k+1{,}000{,}000}) .$$

المنفعة ليست متناسبة مع المال: فالمليون الأول يغيّر حياتك، أما الثاني فلا يغيّرها بمثل ذلك القدر ولا قريبًا منه. فافترض أنك تقدّر وضعك الحالي بالدرجة $5$، والنتيجة الوسطى بالدرجة $8$، والعليا بالدرجة $9$. عندئذ

$$EU(\text{Accept}) = \tfrac{1}{2}(5) + \tfrac{1}{2}(9) = 7 < 8 = EU(\text{Decline}) ,$$

فالرفض ليس مفهومًا فحسب، بل هو ما يوجبه المبدأ.

ليس في هذا أي طعن في أخذ المتوسّط. فالمتوسّط محسوب بالطريقة نفسها في المرّتين. وإنما الذي يختلف هو المقياس الذي يُتوسَّط، والمنفعة هي المقياس الذي يرمّز التفضيل.

الحجّة تدور على شكل منحنى، فهذا هو المنحنى. النتائج الثلاث نقاطٌ عليه، والمزلاج يثنيه، والاحتمالات لا تتحرّك أبدًا. والخط المتقطّع هو التقدير الذي تحتاجه القمّة ليصحّ القبول: 11 عند التقديرات أعلاه. وهذا يستحقّ قراءتين، فهو يقول إن المليون والنصف الثاني ينبغي أن يضيف ما لا يقلّ عمّا أضافه المليون الأول، وذاك نقيض الغلّة المتناقصة التي تقوم عليها الحجّة كلّها.

المقامرة نفسها، والجواب المعاكس

الحجّة تدور على شكل منحناك، لا على الحذر عمومًا. فمنفعة الملياردير خطّية في جوهرها على مدى بضعة ملايين، ومن ثمّ فقياس المنفعة بالملايين يعطي

$$EU(\text{Accept}) = \tfrac{1}{2}(0) + \tfrac{1}{2}(2.5) = 1.25 > 1.0 = EU(\text{Decline}) ,$$

والمبدأ نفسه يقول: خُذ المقامرة. عميلان، والاحتمالات واحدة، والخياران العقلانيان متعاكسان. ولا تناقض في ذلك ألبتّة: فلهما دالّتا منفعة مختلفتان، ولم تدّعِ النظرية قطّ أن ثمّة دالّة واحدة.

لماذا ليس هذا نهاية الذكاء الاصطناعي

يلاحظ رسل ونورفيغ أن المبدأ «يمكن أن يُرى تعريفًا للذكاء الاصطناعي كلّه»، ثم يشيران فورًا إلى أنه لا يحلّه. وكلا القولين صحيح، والفجوة بينهما جديرة بالتدقيق.

يقول المبدأ بالضبط ما الخيار العقلاني. أما الذي لا يقوله فهو كيف تحصل على المكوّنات.

• الاحتمالات $P(\mathrm{Result}(a) \mid a, \mathbf{e})$ تستلزم نموذجًا سببيًا للعالم واستدلالًا داخله - وقد بيّن المسار السابق أنه صعب في NP في الشبكات البيزية العامة.
• المنافع $U(s')$ كثيرًا ما لا يمكن قراءتها من الحالة ألبتّة. فمعرفة مقدار جودة وضعٍ ما قد تتطلّب بحثًا أو تخطيطًا لرؤية ما يمكن بلوغه منه.

فالمبدأ إذن يصوغ «افعل الصواب» صوغًا دقيقًا، ويترك العمل كلّه تقريبًا. ومع ذلك تبقى له قيمته: فهو يعطي معيارًا تُحاكم إليه التقريبات، وذلك أكثر مما تقدّمه كومة من الإرشادات.

المبدأ ومقاييس الأداء. إن عظّم عميلٌ دالّةَ منفعة تعكس على نحو صحيح مقياسَ الأداء الذي يُحكم به على سلوكه، بلغ أعلى درجة ممكنة بذلك المقياس، متوسّطةً على البيئات التي قد يواجهها. والمزلق كامن في على نحو صحيح.

قبل الاختبار

كن قادرًا على كتابة $EU(a \mid \mathbf{e})$ وصوغ المبدأ، وعلى حلّ مثال برنامج المسابقات بالمال وبالمنفعة معًا، وشرح لماذا يقرّر الملياردير عقلانيًا على النحو المعاكس، وتسمية المكوّنين اللذين يفترضهما المبدأ ولا يوفّرهما.