فهم القبليّ المرافق
تضرب قاعدة بايز قبليًّا في أرجحيّة ثمّ تُعيّر. وفي العموم لا صورة مغلقة للناتج، فيلزم تكامل عدديّ أو أخذ عيّنات. والقبليّ المرافق يُختار ليُبقي الضربُ الجوابَ داخل عائلة ينتمي إليها القبليّ أصلًا، فيُختزل التحديث إلى تغيير وسائط العائلة.
وأشهر زوج هو بيتا وبرنولّي. فقبليّ بيتا بوسيطين a وb، محدَّثًا على c من النجاحات وl من الإخفاقات، يصير بيتا بوسيطين a + c وb + l. ولا شيء يُكامَل ولا شيء يُقرَّب. ويتكرّر النمط نفسه في غيره: ديريكليه مع الفئويّ، وجاما مع بواسون، والغاوسيّة مع غاوسيّة معلومة التباين.
وقراءة الوسائط عدّاتٍ زائفة هي ما يجعل القبليّ أمينًا. فقبليّ بيتا(1، 1) منتظم ويساوي مشاهدتين متخيَّلتين، واحدة من كلّ نوع؛ وقبليّ بيتا(50، 50) يساوي مئة، وسيغلب عيّنة صغيرة. فقوّة الاعتقاد واتّجاهه مقبضان منفصلان، والوسائط تسمّيهما معًا.
والترافق يُختار للقابليّة الحسابيّة، وهذه كلفة حقيقيّة بقدر ما هي تسهيل. فإن كان القبليّ الأمين خارج العائلة المرافقة - ثنائيّ المنوال مثلًا، أو بقطعٍ حادّ - ففرضُه فيها إبقاءً على أناقة الحساب خطأُ نمذجة. ومع أخذ العيّنات الحديث لم يعد الحساب هو القيد الملزِم كما كان.
كيفية الحساب
\text{Beta}(a, b) \times \text{Binomial}(c, l) \;\propto\; \text{Beta}(a + c,\; b + l), \qquad \mathbb{E}[\theta \mid \mathbf{d}] = \frac{a + c}{a + b + c + l}
حيث
- a, b
- العدّات الزائفة القبليّة للنجاحات والإخفاقات
- c, l
- النجاحات والإخفاقات المشاهَدة
مثال على القبليّ المرافق
افتح 25 حبّة حلوى فتجد 18 كرزًا. تُبلغ الأرجحيّة العظمى عن 18/25 = 0.72. ومع قبليّ منتظم بيتا(1، 1) يكون البعديّ بيتا(19، 8)، متوسّطه 19/27 = 0.703704 ومنواله 18/25 = 0.72، وهو جواب الأرجحيّة العظمى نفسه. فالمتوسّط يُجذب نحو النصف؛ والمنوال لا يُجذب.
وقوِّ القبليّ يقوَ الجذب: فبيتا(2، 2) تعطي متوسّطًا بعديًّا قدره 20/29 = 0.689655، وبيتا(5، 5) تعطي 23/35 = 0.657143، وبيتا(50، 50) تعطي 68/125 = 0.544. ولم تتغيّر البيانات؛ وإنّما تغيّر عدد المشاهدات المتخيَّلة.
وحالة الإخفاق هي حيث يظهر نفع هذا كلّه. افتح حبّة واحدة فتجدها كرزًا، فتُبلغ الأرجحيّة العظمى عن 1: فالليمون ليس مستبعدًا بل مستحيلًا، ولا سبيل إلى إعادة ضرب أيّ دليل لاحق. أمّا متوسّط البعديّ تحت بيتا(1، 1) فهو 2/3، وهو بالضبط تنعيم add-one. فالحيلة القياسيّة والقبليّ المنتظم حسابٌ واحد.
الأسئلة الشائعة
هل يجعل القبليّ المرافق الجواب أصوب؟
لا. يجعله أسهل حسابًا. فالقبليّ المرافق الذي يُخالف اعتقادك يعطي بعديًّا أنيقًا وخاطئًا، وأناقته ليست دليلًا في أيّ اتّجاه.
كم من البيانات يلزم لإغراق القبليّ؟
نحو ما يساويه القبليّ من عدّات زائفة. فقبليّ بيتا(1، 1) يساوي مشاهدتين ويتلاشى في الحال تقريبًا؛ وبيتا(50، 50) يساوي مئة وما زال يحرّك الجواب تحريكًا ملحوظًا بعد 25.
الخلاصة
القبليّ المرافق يُبقي البعديّ في عائلة القبليّ، فيصير التحديث حسابًا على عدّات زائفة. يُختار للقابليّة الحسابيّة لا للصدق، وهو يفسّر لماذا كان تنعيم add-one، الذي يبدو حيلة، هو متوسّط البعديّ تحت قبليّ منتظم.